Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a) lim x +infty(1+1x)^6 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma expressão exponencial. A gente vai usar o limite exponencial fundamental, que nos ajuda a calcular limites onde a base está próxima de 1 e o expoente cresce para o infinito. Para isso, precisamos entender a função exponencial e como manipular expressões com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que temos: . Conforme vai para mais infinito, vai tendendo a zero, então a base da potência está se aproximando de 1. O expoente, , está aumentando sem limite.

Passo 3

O limite exponencial fundamental que vamos usar é:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para a nossa expressão.

Passo 4

Vamos reescrever a nossa expressão para se parecer com a fórmula fundamental. Observamos que:
(1 + 1x)^6x = [(1 + 1x)^x]^6
Isso porque . Agora, a expressão dentro do colchete está no formato do limite fundamental.

Passo 5

Aplicando o limite exponencial fundamental à parte dentro dos colchetes:
limx to infty (1 + 1x)^x = e
Então, a expressão toda fica:
(e)^6 = e^6

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções de grau unitário.
g { y'' + 4y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = -1 }, onde f(t) = { 1, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 }
Determine:
a) lim x 0 1-cos ^2 x1-cos x
Considere a função, definida em R por:
f(x) = { 2(x - 2), x < 1; k x, x ≥ 1 }
Calcular o valor e k para que a função seja contínua em x = 1.
Calcule:
d) lim x 0 sen 1 x5 x