Determine: lim x 0 tan (2 x)sen(5 x)=2 / 5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções tangente e seno se comportam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando se aproxima de 0, a função se comporta aproximadamente como , ou seja, . O mesmo vale para a função , que também é aproximadamente igual a quando é próximo de 0. Essas aproximações são baseadas no fato de que o seno e a tangente de pequenos ângulos são quase iguais ao próprio ângulo quando medido em radianos.

Passo 3

Aplicando essas aproximações ao nosso limite, temos:
tan(2x) approx 2x
Substituindo na expressão original:

Passo 4

Agora, simplificamos a fração 2x5x = 25 . Como é diferente de zero (já que estamos considerando o limite quando se aproxima de 0, mas não exatamente 0), podemos cancelar o do numerador e do denominador:

Resposta

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