Usando a definição de continuidade, determine o valor de para que a função seja contínua em .
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Isso está dentro do conteúdo de continuidade de funções. Para resolver, vamos usar a definição de continuidade, que envolve calcular os limites laterais da função e garantir que todos sejam iguais ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três coisas acontecerem:
A função está definida em : ou seja, existe.
O limite da função quando se aproxima de 10 pela esquerda existe: .
O limite da função quando se aproxima de 10 pela direita existe: .
E o mais importante: todos esses valores devem ser iguais. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na prática. Suponha que a função seja definida por partes assim:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz todos os três valores citados na continuação serem iguais.
Passo 4
Vamos calcular os limites laterais. Primeiro, o limite pela esquerda ():
Dependendo da expressão para , substituímos por 10 e calculamos. Vamos supor que:
Passo 5
Agora, o limite pela direita ():
Novamente, substituímos por 10 na expressão para . Supondo que:
Passo 6
Sabemos que para ser contínua em ,
Já calculamos os limites laterais e ambos deram . Portanto,