Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida:
. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao método de integração por substituição e uso de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular as potências das funções seno e cosseno e aplicar uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral para facilitar a aplicação da substituição. Observamos que temos potências ímpares de seno e cosseno. Quando isso acontece, é útil separar uma unidade de uma das funções e usar a identidade
.
Vamos reescrever
como
:
Passo 3
Agora, usamos a identidade trigonométrica
para substituir
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, fazemos a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 6
Substituímos na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Substituímos
de volta:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine a área limitada:
(25.1) pelo eixo e a curva de equações paramétricas
(25.2) pelas curvas de equações e
(25.1) pelo eixo
(25.2) pelas curvas de equações
(25.3) pelo laço de curva
(25.4) pelo laço de curva
(25.4) pelo laço de curva
Determine:
;
Dada
, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Resposta:
Resposta:
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
(15.1) Esboce e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de .
(15.3) A região é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
(15.1) Esboce
(15.2) Calcule o centróide de
(15.3) A região