Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida: . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao método de integração por substituição e uso de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular as potências das funções seno e cosseno e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral para facilitar a aplicação da substituição. Observamos que temos potências ímpares de seno e cosseno. Quando isso acontece, é útil separar uma unidade de uma das funções e usar a identidade .
Vamos reescrever como :

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, fazemos a substituição . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 6

Substituímos na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine a área limitada:
(25.1) pelo eixo e a curva de equações paramétricas
(25.2) pelas curvas de equações e
(25.3) pelo laço de curva
(25.4) pelo laço de curva
Determine: ;
Dada , calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Resposta:
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
(15.1) Esboce e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de .
(15.3) A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.