Calcule a integral indefinida: integral sen^3 2 theta cos ^4 2 theta d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida: . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao método de integração por substituição e uso de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular as potências das funções seno e cosseno e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral para facilitar a aplicação da substituição. Observamos que temos potências ímpares de seno e cosseno. Quando isso acontece, é útil separar uma unidade de uma das funções e usar a identidade integral sin^3(2theta) cos^4(2theta) , dtheta = integral sin^2(2theta) cos^4(2theta) cdot sin(2theta) , dtheta .
Vamos reescrever como :

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica integral (1 - cos^2(2theta)) cos^4(2theta) cdot sin(2theta) , dtheta para substituir :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral (1 - cos^2(2theta)) cos^4(2theta) cdot sin(2theta) , dtheta = integral (cos^4(2theta) - cos^6(2theta)) sin(2theta) , dtheta

Passo 5

Agora, fazemos a substituição . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 6

Substituímos na integral:
integral (u^4 - u^6) sin(2theta) cdot du-2sin(2theta) = -12 integral (u^4 - u^6) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
-12 ( u^55 - u^77 ) + C

Passo 8

Substituímos -12 ( cos^5(2theta)5 - cos^7(2theta)7 ) + C de volta:

Resposta

A integral é igual a:
-110 cos^5(2theta) + 114 cos^7(2theta) + C
onde é a constante de integração.

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