Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida:
. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao método de integração por substituição e uso de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular as potências das funções seno e cosseno e aplicar uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral para facilitar a aplicação da substituição. Observamos que temos potências ímpares de seno e cosseno. Quando isso acontece, é útil separar uma unidade de uma das funções e usar a identidade
.
Vamos reescrever
como
:
Passo 3
Agora, usamos a identidade trigonométrica
para substituir
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, fazemos a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 6
Substituímos na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Substituímos
de volta:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.