Determine
a) lim x 0^+(x+1)^cotg(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões do tipo quando e dependem de e se aproximam de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Sabemos que lim x 0^+(x+1)^cot(x) = lim x 0^+ e^cot(x) ln(x+1) . Então, podemos reescrever o limite assim:
Agora, nosso foco é encontrar o limite do expoente quando tende a .

Passo 3

Vamos analisar cada parte separadamente. Sabemos que cot(x) approx 1x . Quando se aproxima de , tende a e tende a , então:
Além disso, para , quando é próximo de , podemos usar a aproximação .

Passo 4

Substituindo essas aproximações no expoente:
cot(x) ln(x+1) approx 1x cdot x = 1
Portanto, o limite do expoente é .

Passo 5

Voltando à expressão original:
lim x 0^+ e^cot(x) ln(x+1) = e^lim x 0^+ cot(x) ln(x+1) = e^1 = e

Resposta

lim x 0^+(x+1)^cot(x) = e

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