Determine
b) A área delimitada entre as curvas de f(x) = sex(x) e f(x) = cos(x), x pertence a [0, 2pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a área entre as curvas e no intervalo de . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, mais especificamente com a secante e o cosseno. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam graficamente e onde elas se intersectam dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
  • Cosseno ( ): É uma função periódica que varia entre -1 e 1, com períodos repetitivos a cada .
  • Secante ( ): É o inverso do cosseno, ou seja, . Essa função tem assíntotas verticais onde , ou seja, em e .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Igualamos as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, as soluções no intervalo são:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento das funções entre esses pontos de interseção. Observamos que é igual a apenas nesses pontos específicos, e entre eles cresce para o infinito quando se aproxima das assíntotas em e .

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, precisamos integrar a diferença entre as duas funções nos intervalos onde elas são definidas e contínuas. No entanto, devido às assíntotas em e , devemos dividir o intervalo de integração em três partes:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
  4. De a

Passo 6

Em cada um desses subintervalos, identificamos qual função está acima da outra para determinar qual função subtrair da outra na integral. Após análise gráfica, percebemos que em cada subintervalo, está acima de .

Passo 7

Portanto, a área total será a soma das áreas de cada subintervalo:

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso em cada integral:

Passo 9

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de cada subintervalo e somamos os resultados.

Passo 10

Após calcular e somar todas as integrais, encontramos a área total entre as curvas no intervalo de a .

Resposta

A área delimitada entre as curvas e no intervalo é dada por:
Calculando os valores, obtemos a área total. Portanto, a resposta final é .

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Dada a função f(x) = e^(-x^2), faça o que se pede:
b) Descreva os intervalos de crescimento e de decrescimento da função f(x)
Determine
a) lim x 0^+(x+1)^cotg(x)
Resolva as inquaçōes abaixo: 1 pt |x-2| + |x+2| <= 6
Calcule os limites abaixo: [1 pt] lim x 0 tg(6 x) cdot cossec(5 x)