Determine se o limite existe ou não:
© lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2 y^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está trabalhando com limites em funções de duas variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam quando nos aproximamos de um ponto específico, nesse caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo quando se aproxima de . Temos . Como x e y estão indo para zero, e também vão para zero. Então, tende a zero.

Passo 3

Sabemos que tende a quando tende a zero. Aqui, é , que já vimos que tende a zero. Portanto, tende a .

Passo 4

Para confirmar, podemos testar alguns caminhos diferentes ao se aproximar de . Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , novamente .
  • Se , que também tende a quando .
Como em todos os caminhos o limite tende a 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

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