Determine se o limite existe ou não:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso está relacionado com o estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite exista. Para limites de funções de duas variáveis, o limite existe se, independentemente do caminho que a gente escolhe para aproximar de , a função se aproxima do mesmo valor. Se a gente encontrar pelo menos dois caminhos diferentes que levam a valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos simples para . Um caminho comum é ao longo dos eixos coordenados. Primeiro, vamos considerar o caminho onde .
Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, .
Substituindo na função:
Quando , o limite ao longo desse caminho é .

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais interessante, como , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Quando , esse limite também é , independente de .

Passo 6

Até agora, todos os caminhos que testamos levaram ao limite . Porém, para ter certeza de que o limite existe, precisamos garantir que todos os caminhos levem ao mesmo valor. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, .
Substituindo na função:
Quando , o limite ao longo desse caminho é .

Passo 7

Parece que todos os caminhos que testamos até agora resultam no limite . Para fortalecer nossa conclusão, vamos utilizar a desigualdade que envolve o valor absoluto da função para verificar se realmente o limite é independente do caminho:
Como , podemos mostrar que a expressão fica limitada por , que vai para quando . Isso confirma que o limite é de fato , independente do caminho escolhido.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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