Determine se o limite existe ou não:
(i) lim (x, y) (0,0) x^2 y+y^3x^2+y^2
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o limite da função existe quando se aproxima de . Isso está relacionado com o estudo de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite exista. Para limites de funções de duas variáveis, o limite existe se, independentemente do caminho que a gente escolhe para aproximar de , a função se aproxima do mesmo valor. Se a gente encontrar pelo menos dois caminhos diferentes que levam a valores diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos simples para x^2 cdot 0 + 0^3x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 . Um caminho comum é ao longo dos eixos coordenados. Primeiro, vamos considerar o caminho onde .
Substituindo na função:
Então, ao longo do caminho , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, x^2 cdot x + x^3x^2 + x^2 = x^3 + x^32x^2 = 2x^32x^2 = x .
Substituindo na função:
Quando , o limite ao longo desse caminho é .

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais interessante, como x^2 cdot kx + (kx)^3x^2 + (kx)^2 = kx^3 + k^3x^3x^2 + k^2x^2 = x^3(k + k^3)x^2(1 + k^2) = x(k + k^3)1 + k^2 , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Quando , esse limite também é , independente de .

Passo 6

Até agora, todos os caminhos que testamos levaram ao limite x^2 cdot x^2 + (x^2)^3x^2 + (x^2)^2 = x^4 + x^6x^2 + x^4 = x^4(1 + x^2)x^2(1 + x^2) = x^4x^2 = x^2 . Porém, para ter certeza de que o limite existe, precisamos garantir que todos os caminhos levem ao mesmo valor. Vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, .
Substituindo na função:
Quando , o limite ao longo desse caminho é .

Passo 7

Parece que todos os caminhos que testamos até agora resultam no limite | x^2 y + y^3x^2 + y^2 | <= x^2 |y| + |y|^3x^2 + y^2 . Para fortalecer nossa conclusão, vamos utilizar a desigualdade que envolve o valor absoluto da função para verificar se realmente o limite é independente do caminho:
Como , podemos mostrar que a expressão fica limitada por , que vai para quando . Isso confirma que o limite é de fato , independente do caminho escolhido.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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