Determine se o limite existe ou não:
(g)
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites em funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto dado por diferentes caminhos.
Passo 2
Vamos analisar a função
. Podemos reescrevê-la dividindo cada termo no numerador por
:
Agora, precisamos ver o que acontece com
quando
se aproxima de 0 e
se aproxima de 1.
Passo 3
Considerando que
se aproxima de 1 e
se aproxima de 0, a expressão
se comporta como
, o que sugere que pode tender para infinito. Mas precisamos verificar isso de forma mais rigorosa observando diferentes caminhos de aproximação.
Passo 4
Vamos escolher dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Primeiro caminho: Fixar
e deixar
se aproximar de 0.
Aqui, o limite tende para mais infinito.
Passo 5
Segundo caminho: Fixar
, onde
é uma constante.
Substituindo
:
Novamente, o limite tende para mais infinito, mas como depende do valor de
, diferentes caminhos podem levar a diferentes comportamentos.
Passo 6
Como ao escolher diferentes caminhos a função tende para +infinito ou comportamentos divergentes, podemos concluir que o limite não existe de forma consistente para todos os caminhos de aproximação.
Resposta
O limite não existe.