Determine se o limite existe ou não:
(g) lim (x, y) (1,0) x+yy

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se o limite da função existe quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites em funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto dado por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos analisar a função x + yy = xy + yy = xy + 1 . Podemos reescrevê-la dividindo cada termo no numerador por :
Agora, precisamos ver o que acontece com quando se aproxima de 0 e se aproxima de 1.

Passo 3

Considerando que se aproxima de 1 e se aproxima de 0, a expressão se comporta como , o que sugere que pode tender para infinito. Mas precisamos verificar isso de forma mais rigorosa observando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 4

Vamos escolher dois caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo em ambos.
Primeiro caminho: Fixar limy to 0 1 + yy = limy to 0 ( 1y + 1 ) = +infty e deixar se aproximar de 0.
Aqui, o limite tende para mais infinito.

Passo 5

Segundo caminho: Fixar limx to 1 x + k(x - 1)k(x - 1) = limx to 1 x + kx - kk(x - 1) = limx to 1 (1 + k)x - kk(x - 1) , onde (1 + k)(1) - kk(1 - 1) = 10 é uma constante.
Substituindo :
Novamente, o limite tende para mais infinito, mas como depende do valor de , diferentes caminhos podem levar a diferentes comportamentos.

Passo 6

Como ao escolher diferentes caminhos a função tende para +infinito ou comportamentos divergentes, podemos concluir que o limite não existe de forma consistente para todos os caminhos de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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