Determine m E R para que o polinômio p(x)= (m-4)x³+(m²-16)x²+(m+4)x+4 seja de grau 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor real para $ m $ que faz com que o polinômio $ p(x) = (m-4)x^3 + (m^2 - 16)x^2 + (m+4)x + 4 $ seja de grau 2. Isso envolve entender como os termos do polinômio determinam seu grau e como ajustar $ m $ para alcançar o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o grau de um polinômio. O grau de um polinômio é o maior expoente de $ x $ que aparece com um coeficiente diferente de zero. No nosso caso, o polinômio original tem o termo $ x^3 $, então ele é de grau 3.

Passo 3

Queremos que o polinômio seja de grau 2, ou seja, o termo com $ x^3 $ precisa desaparecer. Para isso, o coeficiente de $ x^3 $ deve ser igual a zero. Vamos igualar o coeficiente a zero e resolver para $ m $:
x^3

Passo 4

Resolvendo a equação $ m - 4 = 0 $:
m - 4 = 0
Então, encontramos que $ m = 4 $ faz o coeficiente de $ x^3 $ ser zero.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se com $ m = 4 $, o polinômio realmente se torna de grau 2. Vamos substituir $ m $ por 4 no coeficiente de $ x^2 $:
m = 4
Oops! O coeficiente de $ x^2 $ também ficou zero. Isso significa que, ao substituir $ m = 4 $, os termos de $ x^3 $ e $ x^2 $ desaparecem, deixando o polinômio apenas com $ x $ e o termo constante. Portanto, o polinômio passa a ser de grau 1, não 2.

Resposta

Não existe nenhum número real $ m $ que faça o polinômio $ p(x) = (m-4)x^3 + (m^2 - 16)x^2 + (m+4)x + 4 $ ser de grau 2.

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