Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) F(x, y) = sen(x y) / (e^x - y^2)
(b) f(x, y) = 3 x^2 y^2 - 5 x y + 6
© g(x, y) = ln((x - y) / (x^2 + y^2))
(d) f(x, y) = { 2xy / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
(e) f(x) = { x^3 / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o maior conjunto onde cada uma dessas funções é contínua. Isso tá relacionado com o conteúdo de Continuidade de Funções de Duas Variáveis. Pra resolver, vamos precisar saber onde as funções estão bem-definidas e onde os denominadores não são zero, entre outras coisas.

Passo 2

Vamos começar com a função (a):
(a)
Primeiro, a função está contínua onde ela está bem definida. Ou seja, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos encontrar onde .

Passo 3

Agora, olhando para a função (b):
(b)
Essa é uma função polinomial, que é contínua em todo o plano . Não tem nenhum denominador ou logaritmo que possa causar problemas.

Passo 4

Passando para a função ©:
©
O logaritmo está definido quando seu argumento é positivo. Então, precisamos que:
  1. O denominador (ou seja, )

Passo 5

Vamos para a função (d):
(d)
Aqui, precisamos verificar a continuidade no ponto . Fora desse ponto, a função é uma fração de polinômios e está contínua. No ponto , a gente vê se o limite da função quando se aproxima de é igual a 0.

Passo 6

Por último, a função (e):
(e)
Semelhante à função anterior, precisamos verificar a continuidade no ponto . Fora desse ponto, a função é contínua. No ponto , analisamos o limite da função conforme se aproxima de e verificamos se é igual a 0.

Resposta

Resumindo, os maiores conjuntos onde as funções são contínuas são:
  • (a) é contínua em exceto onde , ou seja, .
  • (b) é contínua em todo .
  • © é contínua onde e .
  • (d) é contínua em todo .
  • (e) é contínua em exceto possivelmente no ponto , mas nesse caso, a função também é contínua no ponto .

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