Suponha que quando a produção de determinada mercadoria requer máquinas-hora e homens-hora, o custo de produção seja dado por . Determine o número de máquinas-horas e o número de homens-horas necessários para que a mercadoria tenha um custo mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o custo de produção de uma mercadoria é dado pela função , onde representa máquinas-hora e representa homens-hora. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e que fazem esse custo ser o menor possível. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o método de encontrar mínimos usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra permanece fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, onde o custo pode ser mínimo, igualamos essas derivadas a zero:

Passo 4

Vamos resolver essas equações simultaneamente. Da equação (2), podemos isolar :

Passo 5

Substituímos na equação (1):
Isso nos dá duas soluções: ou .

Passo 6

Descartamos porque não faria sentido ter zero máquinas-hora na produção. Então, temos . Usando , encontramos:

Passo 7

Para confirmar que esse ponto realmente minimiza o custo, podemos verificar a segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Mas, para simplificação, aceitaremos que este é o ponto de mínimo.

Resposta

O número de máquinas-horas necessárias é e o número de homens-horas necessárias é para que a mercadoria tenha um custo mínimo.

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