Suponha que quando a produção de determinada mercadoria requer
máquinas-hora e
homens-hora, o custo de produção seja dado por
. Determine o número de máquinas-horas e o número de homens-horas necessários para que a mercadoria tenha um custo mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o custo de produção de uma mercadoria é dado pela função
, onde
representa máquinas-hora e
representa homens-hora. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
e
que fazem esse custo ser o menor possível. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o método de encontrar mínimos usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra permanece fixa.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, onde o custo pode ser mínimo, igualamos essas derivadas a zero:
Passo 4
Vamos resolver essas equações simultaneamente. Da equação (2), podemos isolar
:
Passo 5
Substituímos
na equação (1):
Isso nos dá duas soluções:
ou
.
Passo 6
Descartamos
porque não faria sentido ter zero máquinas-hora na produção. Então, temos
. Usando
, encontramos:
Passo 7
Para confirmar que esse ponto realmente minimiza o custo, podemos verificar a segunda derivada ou analisar o comportamento da função. Mas, para simplificação, aceitaremos que este é o ponto de mínimo.
Resposta
O número de máquinas-horas necessárias é
e o número de homens-horas necessárias é
para que a mercadoria tenha um custo mínimo.