Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com de comprimento ( ), se a barra deve ser girada em sem exceder a tensão de cisalhamento de

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre torsão de barras. Precisamos encontrar o maior diâmetro possível para uma barra de aço com comprimento de e módulo de rigidez , de forma que ao girá-la , a tensão de cisalhamento não ultrapasse . Para isso, vamos utilizar fórmulas relacionadas à torsão, que nos ajudarão a relacionar o diâmetro da barra com a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção.

Passo 2

Relacionando o Ângulo de Torção com o Torque
Quando uma barra circular é submetida à torção, o ângulo de torção ( ) está relacionado ao torque aplicado ( ), ao comprimento da barra ( ), ao módulo de rigidez ( ) e ao momento polar de inércia ( ). A fórmula que relaciona esses elementos é:
Aqui, deve estar em radianos para usar a fórmula corretamente. Como temos , vamos converter para radianos:

Passo 3

Calculando o Momento Polar de Inércia
Para uma barra circular, o momento polar de inércia ( ) é dado por:
Onde é o diâmetro da barra que queremos encontrar.

Passo 4

Relacionando a Tensão de Cisalhamento com o Torque
A tensão de cisalhamento máxima ( ) ocorre na superfície da barra e está relacionada ao torque ( ) e ao raio ( ):
Podemos rearranjar essa fórmula para expressar o torque em função da tensão de cisalhamento:

Passo 5

Substituindo e na Equação do Ângulo de Torção
Vamos substituir e nas equações que temos:
Aqui, observe que o momento polar de inércia foi cancelado.

Passo 6

Isolando o Diâmetro
Agora, queremos encontrar o diâmetro . Vamos isolar na equação:

Passo 7

Substituindo os Valores Conhecidos
Vamos substituir os valores na fórmula:
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Calculando o Diâmetro
Vamos calcular passo a passo:
  1. Numerador:
  1. Denominador:
  1. Dividindo Numerador pelo Denominador:
Convertendo para centímetros:

Resposta

O maior diâmetro possível para a barra de aço é de aproximadamente 7,36 centímetros.

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