Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 1,8 m de comprimento ( G=77,2 GPa ), se a barra deve ser girada em 3^circ sem exceder a tensão de cisalhamento de 82,7 MPa

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício de Mecânica dos Materiais, especificamente sobre torsão de barras. Precisamos encontrar o maior diâmetro possível para uma barra de aço com comprimento de 1,8, m e módulo de rigidez G = 77,2, GPa, de forma que ao girá-la 3^circ, a tensão de cisalhamento não ultrapasse 82,7, MPa. Para isso, vamos utilizar fórmulas relacionadas à torsão, que nos ajudarão a relacionar o diâmetro da barra com a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção.

Passo 2

Relacionando o Ângulo de Torção com o Torque
Quando uma barra circular é submetida à torção, o ângulo de torção ( theta) está relacionado ao torque aplicado ( T), ao comprimento da barra ( L), ao módulo de rigidez ( G) e ao momento polar de inércia ( J). A fórmula que relaciona esses elementos é:
theta = T LG J
Aqui, theta deve estar em radianos para usar a fórmula corretamente. Como temos 3^circ, vamos converter para radianos:
theta = 3^circ times pi180 = pi60 , rad

Passo 3

Calculando o Momento Polar de Inércia
Para uma barra circular, o momento polar de inércia ( J) é dado por:
J = pi d^432
Onde d é o diâmetro da barra que queremos encontrar.

Passo 4

Relacionando a Tensão de Cisalhamento com o Torque
A tensão de cisalhamento máxima ( taumax) ocorre na superfície da barra e está relacionada ao torque ( T) e ao raio ( c = d2):
taumax = T cJ = T d2J
Podemos rearranjar essa fórmula para expressar o torque em função da tensão de cisalhamento:
T = 2 J taumaxd

Passo 5

Substituindo J e T na Equação do Ângulo de Torção
Vamos substituir J e T nas equações que temos:
theta = T LG J = ( 2 J taumaxd ) LG J = 2 taumax LG d
Aqui, observe que o momento polar de inércia J foi cancelado.

Passo 6

Isolando o Diâmetro d
Agora, queremos encontrar o diâmetro d. Vamos isolar d na equação:
d = 2 taumax LG theta

Passo 7

Substituindo os Valores Conhecidos
Vamos substituir os valores na fórmula:
taumax &= 82,7 times 10^6 , Pa L &= 1,8 , m G &= 77,2 times 10^9 , Pa theta &= pi60 , rad
Substituindo na fórmula:
d = 2 times 82,7 times 10^6 times 1,877,2 times 10^9 times pi60

Passo 8

Calculando o Diâmetro d
Vamos calcular passo a passo:
  1. Numerador:
2 times 82,7 times 10^6 times 1,8 = 2 times 82,7 times 1,8 times 10^6 = 297,72 times 10^6
  1. Denominador:
77,2 times 10^9 times pi60 approx 77,2 times 10^9 times 0,05236 approx 4,046 times 10^9
  1. Dividindo Numerador pelo Denominador:
d = 297,72 times 10^64,046 times 10^9 approx 0,0736 , m
Convertendo para centímetros:
0,0736 , m = 7,36 , cm

Resposta

O maior diâmetro possível para a barra de aço é de aproximadamente 7,36 centímetros.

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