Determine o momento de inércia dos seguintes objetos, todos homogêneos:
a) Barra maciça de largura e altura desprezível e comprimento L e massa M.
b) Anel de raio R e massa M .
c) Disco de raio R e massa M .
d) Esfera oca de raio R e massa M.
e) Esfera maciça de raio R e massa M.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia de objetos homogêneos. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação, e ele é super importante para entender como os objetos giram. Para resolver cada parte, vamos precisar das fórmulas específicas para cada forma geométrica.

Passo 2

a) Barra maciça de largura e altura desprezível, comprimento $ L $ e massa $ M $.

Primeiro, para uma barra maciça girando em torno de seu centro, a fórmula do momento de inércia é:
L
Aqui, $ M $ é a massa da barra e $ L $ é o comprimento. A fórmula considera que a massa está distribuída uniformemente ao longo do comprimento da barra.

Passo 3

b) Anel de raio $ R $ e massa $ M $.

Para um anel (ou anel fino) girando em torno de seu centro, o momento de inércia é mais simples:
R
Isso porque toda a massa está distribuída a uma distância $ R $ do eixo de rotação.

Passo 4

c) Disco de raio $ R $ e massa $ M $.

Um disco é um pouco diferente de um anel porque a massa não está apenas na borda. A fórmula para o momento de inércia de um disco que gira em torno de seu eixo central é:
R
Isso leva em conta que a massa está distribuída do centro até a borda.

Passo 5

d) Esfera oca de raio $ R $ e massa $ M $.

Para uma esfera oca (como uma casca esférica) girando em torno de seu eixo, o momento de inércia é dado por:
R
Nesta fórmula, consideramos que toda a massa está distribuída na superfície da esfera, a uma distância $ R $ do centro.

Passo 6

e) Esfera maciça de raio $ R $ e massa $ M $.

Já para uma esfera sólida, onde a massa está distribuída por todo o volume, a fórmula do momento de inércia é:
R
Isso reflete a distribuição da massa de forma mais compacta em relação ao eixo de rotação.

Resposta

Os momentos de inércia dos objetos são:
a) Barra maciça: $ I = \frac{1}{12} M L^2 $
b) Anel: $ I = M R^2 $
c) Disco: $ I = \frac{1}{2} M R^2 $
d) Esfera oca: $ I = \frac{2}{3} M R^2 $
e) Esfera maciça: $ I = \frac{2}{5} M R^2 $

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