Determine n reta simétrien à retn r em relnçīn àà n reta s, onde:
a. r: 4 x-y=3 es: 2 x-y=-1.
b. r : : 2 x-3 y=1, e s: 2 x-3 y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as retas simétricas à reta em relação à reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre simetria de retas. Para resolver, vamos precisar entender como refletir uma reta em outra reta e aplicar algumas fórmulas matemáticas para encontrar as equações das retas simétricas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte do exercício:
a.

Primeiro, precisamos entender como encontrar uma reta simétrica a em relação a . A ideia é refletir a reta sobre a reta , resultando em uma nova reta que é a imagem refletida.

Passo 3

Para refletir a reta sobre a reta , seguiremos estes passos:
  1. Encontrar o ângulo entre as duas retas.
  2. Usar a fórmula da reflexão para determinar a inclinação da reta simétrica.
  3. Determinar a equação da reta simétrica usando o ponto de interseção das retas.

Passo 4

Vamos calcular o ângulo entre as retas y = 4x - 3 e y = 2x + 1 . As inclinações (coeficientes angulares) das retas são dadas pelas equações na forma .
Para , rearranjando:
Então, o coeficiente angular .
Para , rearranjando:
Então, o coeficiente angular .

Passo 5

Agora, usamos a fórmula para encontrar a inclinação m' = ms^2 - 1 + 2ms mr1 + 2ms mr - ms^2 da reta simétrica:
m' = 2^2 - 1 + 2 cdot 2 cdot 41 + 2 cdot 2 cdot 4 - 2^2 = 4 - 1 + 161 + 16 - 4 = 1913
Substituindo e :
Portanto, a inclinação da reta simétrica é .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar um ponto pela qual a reta simétrica passa. Vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas 4x - y = 3 2x - y = -1 e (4x - y) - (2x - y) = 3 - (-1) .
Resolvendo o sistema:
2x = 4 Rightarrow x = 2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2(2) - y = -1
4 - y = -1 Rightarrow y = 5
Substituindo na segunda equação:
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 7

Com a inclina��ão y - y1 = m'(x - x1) e passando pelo ponto y - 5 = 1913(x - 2) , podemos escrever a equação da reta simétrica usando a forma ponto-inclinação:
y - 5 = 1913x - 3813
y = 1913x - 3813 + 5
Para deixar em forma geral:
y = 1913x - 3813 + 6513
y = 1913x + 2713
13y = 19x + 27
19x - 13y + 27 = 0
Multiplicando tudo por 13 para eliminar os denominadores:

Passo 8

Agora vamos para a segunda parte do exercício:
b.

Aqui, notamos que as retas e são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular .

Passo 9

Quando duas retas são paralelas, a reta simétrica a em relação a será uma reta paralela a ambas, mas deslocada de forma que a distância entre e seja duplicada.

Passo 10

Vamos calcular a distância entre as retas d = |C2 - C1|raizA^2 + B^2 e d = |2 - 1|raiz2^2 + (-3)^2 = 1raiz4 + 9 = 1raiz13 . A fórmula da distância entre duas retas paralelas e é:
Para e :

Passo 11

A distância entre d' = 2d = 2 cdot 1raiz13 = 2raiz13 e sua simétrica será o dobro, ou seja:

Passo 12

Como a reta simétrica deve estar afastada de 2x - 3y = 2 + 2d cdot raiz13 na mesma distância 2x - 3y = 2 + 2 cdot 1raiz13 cdot raiz13 , podemos ajustar o valor de 2x - 3y = 2 + 2 na equação 2x - 3y = 4 .
A equação de é , então .
Para a reta simétrica, teremos:
Substituindo :

Resposta

A equação da reta simétrica a 2x - 3y = 4 em relação a é:

Exercícios relacionados