Determine n reta simétrien à retn r em relnçīn
n reta
, onde:
a.
es:
.
b. r :
, e
.
a.
b. r :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as retas simétricas à reta
em relação à reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre simetria de retas. Para resolver, vamos precisar entender como refletir uma reta em outra reta e aplicar algumas fórmulas matemáticas para encontrar as equações das retas simétricas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte do exercício:
a.
Primeiro, precisamos entender como encontrar uma reta simétrica a
em relação a
. A ideia é refletir a reta
sobre a reta
, resultando em uma nova reta que é a imagem refletida.
Passo 3
Para refletir a reta
sobre a reta
, seguiremos estes passos:
- Encontrar o ângulo entre as duas retas.
- Usar a fórmula da reflexão para determinar a inclinação da reta simétrica.
- Determinar a equação da reta simétrica usando o ponto de interseção das retas.
Passo 4
Vamos calcular o ângulo entre as retas
e
. As inclinações (coeficientes angulares) das retas são dadas pelas equações na forma
.
Para
, rearranjando:
Então, o coeficiente angular
.
Para
, rearranjando:
Então, o coeficiente angular
.
Passo 5
Agora, usamos a fórmula para encontrar a inclinação
da reta simétrica:
Substituindo
e
:
Portanto, a inclinação da reta simétrica é
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar um ponto pela qual a reta simétrica passa. Vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas
e
.
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 7
Com a inclina��ão
e passando pelo ponto
, podemos escrever a equação da reta simétrica usando a forma ponto-inclinação:
Para deixar em forma geral:
Multiplicando tudo por 13 para eliminar os denominadores:
Passo 8
Agora vamos para a segunda parte do exercício:
b.
Aqui, notamos que as retas
e
são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular
.
Passo 9
Quando duas retas são paralelas, a reta simétrica a
em relação a
será uma reta paralela a ambas, mas deslocada de forma que a distância entre
e
seja duplicada.
Passo 10
Vamos calcular a distância entre as retas
e
. A fórmula da distância entre duas retas paralelas
e
é:
Para
e
:
Passo 11
A distância entre
e sua simétrica será o dobro, ou seja:
Passo 12
Como a reta simétrica deve estar afastada de
na mesma distância
, podemos ajustar o valor de
na equação
.
A equação de
é
, então
.
Para a reta simétrica, teremos:
Substituindo
:
Resposta
A equação da reta simétrica a
em relação a
é: