Use as relaçōes para provar que a comutatividade pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que usando as relações e . Isso tudo está dentro dos axiomas de um espaço vetorial, que são as regras básicas que vetores seguem. Vamos precisar entender como essas relações funcionam e como elas podem ajudar a mostrar que a soma de dois vetores é comutativa, ou seja, não importa a ordem em que somamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Aqui, é basicamente somado a ele mesmo. Esse é um exemplo da propriedade de distribuição da multiplicação sobre a adição nos vetores. Então, sempre que multiplicamos um vetor por 2, estamos apenas somando ele a si mesmo.

Passo 3

Agora, olhemos para a primeira relação . Essa equação mostra como a multiplicação por 2 distribui sobre a soma de dois vetores. Isso é uma aplicação da propriedade distributiva que diz que para escalares e vetores .

Passo 4

Vamos expandir usando a relação . Substituindo por , temos:
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Usando a associatividade da adição, que diz que , podemos reescrever:
Juntando os termos semelhantes:
Isso confirma que as duas expressões são iguais, mas como queremos provar que , precisamos de um passo adicional.

Passo 6

Vamos considerar que porque e são somas que estão sendo multiplicadas por 2. Usando a relação novamente:
Como as duas expressões são iguais e a multiplicação por 2 não altera a igualdade, podemos concluir que:

Resposta

Portanto, submetendo os passos e as propriedades usadas, mostramos que .

Exercícios relacionados

Determine n reta simétrien à retn r em relnçīn à n reta , onde:
a. es: .
b. r : , e .
Considere o seguinte subconjunto de :
c) Qual é a dimensão de ?
Compare os efeitos de objetividade e subjetividade no texto 2 (um ensaio de divulgação científica) e no texto 3 (um resumo de projeto de pesquisa) e assinale a alternativa correta.
a) As construções textuais e as marcas linguísticas dos dois textos caracterizam formulações inteiramente no campo da objetividade científica, não sendo possível identificar elementos de linguagem que possam produzir efeito de subjetividade.
b) O texto 3 é objetivo, seguindo os padrões formais exigidos para o gênero resumo de projeto; já o texto 2 , caracterizado como um ensaio, tem uma escrita de evocação literária, com jogos de palavras, portanto, sem marcas detectáveis de objetividade.
c) Ambos os textos apresentam marcas de objetividade, como a fundamentação lógica, e elementos que criam efeito de subjetividade, o que se nota particularmente no texto 2, como o uso criativo da pontuação e a exploração da conotação de certas palavras.
d) Todo e qualquer texto tem sempre um autor, logo é marcado pela subjetividade, não existindo construção textual e linguística que possa produzir efeitos de objetividade; assim, os dois textos são expressões subjetivas dos pesquisadores que os produziram.
Dado um subconjunto no espaço vetorial , seja o conjunto das combinações convexas dos elementos de . Prove que é um conjunto convexo, que e que se é qualquer subconjunto convexo de contendo então . (Por este motivo, diz-se que é o menor subconjunto convexo de E que contém chama-se a envoltória convexa do conjunto .)