Use as relaçōes 2(u+v)=2 u+2 v, 2 w=w+w para provar que a comutatividade u+v=v+u pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que usando as relações e . Isso tudo está dentro dos axiomas de um espaço vetorial, que são as regras básicas que vetores seguem. Vamos precisar entender como essas relações funcionam e como elas podem ajudar a mostrar que a soma de dois vetores é comutativa, ou seja, não importa a ordem em que somamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Aqui, é basicamente somado a ele mesmo. Esse é um exemplo da propriedade de distribuição da multiplicação sobre a adição nos vetores. Então, sempre que multiplicamos um vetor por 2, estamos apenas somando ele a si mesmo.

Passo 3

Agora, olhemos para a primeira relação . Essa equação mostra como a multiplicação por 2 distribui sobre a soma de dois vetores. Isso é uma aplicação da propriedade distributiva que diz que para escalares e vetores .

Passo 4

Vamos expandir 2(u + v) = (u + v) + (u + v) usando a relação (u + v) + (u + v) = 2u + 2v . Substituindo por , temos:
Então, nossa equação fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Usando a associatividade da adição, que diz que u + v + u + v = 2u + 2v , podemos reescrever:
2u + 2v = 2u + 2v
Juntando os termos semelhantes:
Isso confirma que as duas expressões são iguais, mas como queremos provar que , precisamos de um passo adicional.

Passo 6

Vamos considerar que 2(u + v) = (u + v) + (u + v) porque 2(v + u) = (v + u) + (v + u) e u + v = v + u são somas que estão sendo multiplicadas por 2. Usando a relação novamente:
Como as duas expressões são iguais e a multiplicação por 2 não altera a igualdade, podemos concluir que:

Resposta

Portanto, submetendo os passos e as propriedades usadas, mostramos que .

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