Use as relaçōes
para provar que a comutatividade
pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
usando as relações
e
. Isso tudo está dentro dos axiomas de um espaço vetorial, que são as regras básicas que vetores seguem. Vamos precisar entender como essas relações funcionam e como elas podem ajudar a mostrar que a soma de dois vetores é comutativa, ou seja, não importa a ordem em que somamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Aqui,
é basicamente
somado a ele mesmo. Esse é um exemplo da propriedade de distribuição da multiplicação sobre a adição nos vetores. Então, sempre que multiplicamos um vetor por 2, estamos apenas somando ele a si mesmo.
Passo 3
Agora, olhemos para a primeira relação
. Essa equação mostra como a multiplicação por 2 distribui sobre a soma de dois vetores. Isso é uma aplicação da propriedade distributiva que diz que
para escalares
e vetores
.
Passo 4
Vamos expandir
usando a relação
. Substituindo
por
, temos:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Usando a associatividade da adição, que diz que
, podemos reescrever:
Juntando os termos semelhantes:
Isso confirma que as duas expressões são iguais, mas como queremos provar que
, precisamos de um passo adicional.
Passo 6
Vamos considerar que
porque
e
são somas que estão sendo multiplicadas por 2. Usando a relação
novamente:
Como as duas expressões são iguais e a multiplicação por 2 não altera a igualdade, podemos concluir que:
Resposta
Portanto, submetendo os passos e as propriedades usadas, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Determine n reta simétrien à retn r em relnçīn
n reta
, onde:
a. es:
.
b. r : , e
.
a.
b. r :
Considere o seguinte subconjunto de
:
c) Qual é a dimensão de
?
Compare os efeitos de objetividade e subjetividade no texto 2 (um ensaio de divulgação científica) e no texto 3 (um resumo de projeto de pesquisa) e assinale a alternativa correta.
a) As construções textuais e as marcas linguísticas dos dois textos caracterizam formulações inteiramente no campo da objetividade científica, não sendo possível identificar elementos de linguagem que possam produzir efeito de subjetividade.
b) O texto 3 é objetivo, seguindo os padrões formais exigidos para o gênero resumo de projeto; já o texto 2 , caracterizado como um ensaio, tem uma escrita de evocação literária, com jogos de palavras, portanto, sem marcas detectáveis de objetividade.
c) Ambos os textos apresentam marcas de objetividade, como a fundamentação lógica, e elementos que criam efeito de subjetividade, o que se nota particularmente no texto 2, como o uso criativo da pontuação e a exploração da conotação de certas palavras.
d) Todo e qualquer texto tem sempre um autor, logo é marcado pela subjetividade, não existindo construção textual e linguística que possa produzir efeitos de objetividade; assim, os dois textos são expressões subjetivas dos pesquisadores que os produziram.
a) As construções textuais e as marcas linguísticas dos dois textos caracterizam formulações inteiramente no campo da objetividade científica, não sendo possível identificar elementos de linguagem que possam produzir efeito de subjetividade.
b) O texto 3 é objetivo, seguindo os padrões formais exigidos para o gênero resumo de projeto; já o texto 2 , caracterizado como um ensaio, tem uma escrita de evocação literária, com jogos de palavras, portanto, sem marcas detectáveis de objetividade.
c) Ambos os textos apresentam marcas de objetividade, como a fundamentação lógica, e elementos que criam efeito de subjetividade, o que se nota particularmente no texto 2, como o uso criativo da pontuação e a exploração da conotação de certas palavras.
d) Todo e qualquer texto tem sempre um autor, logo é marcado pela subjetividade, não existindo construção textual e linguística que possa produzir efeitos de objetividade; assim, os dois textos são expressões subjetivas dos pesquisadores que os produziram.
Dado um subconjunto
no espaço vetorial
, seja
o conjunto das combinações convexas
dos elementos de
. Prove que
é um conjunto convexo, que
e que se
é qualquer subconjunto convexo de
contendo
então
. (Por este motivo, diz-se que
é o menor subconjunto convexo de E que contém
chama-se a envoltória convexa do conjunto
.)