Use as relaçōes
para provar que a comutatividade
pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
usando as relações
e
. Isso tudo está dentro dos axiomas de um espaço vetorial, que são as regras básicas que vetores seguem. Vamos precisar entender como essas relações funcionam e como elas podem ajudar a mostrar que a soma de dois vetores é comutativa, ou seja, não importa a ordem em que somamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Aqui,
é basicamente
somado a ele mesmo. Esse é um exemplo da propriedade de distribuição da multiplicação sobre a adição nos vetores. Então, sempre que multiplicamos um vetor por 2, estamos apenas somando ele a si mesmo.
Passo 3
Agora, olhemos para a primeira relação
. Essa equação mostra como a multiplicação por 2 distribui sobre a soma de dois vetores. Isso é uma aplicação da propriedade distributiva que diz que
para escalares
e vetores
.
Passo 4
Vamos expandir
usando a relação
. Substituindo
por
, temos:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Usando a associatividade da adição, que diz que
, podemos reescrever:
Juntando os termos semelhantes:
Isso confirma que as duas expressões são iguais, mas como queremos provar que
, precisamos de um passo adicional.
Passo 6
Vamos considerar que
porque
e
são somas que estão sendo multiplicadas por 2. Usando a relação
novamente:
Como as duas expressões são iguais e a multiplicação por 2 não altera a igualdade, podemos concluir que:
Resposta
Portanto, submetendo os passos e as propriedades usadas, mostramos que
.