Considere o seguinte subconjunto de R^4 :
V=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e z-t=0
c) Qual é a dimensão de V ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subconjunto de definido pelas equações e . O que a gente precisa descobrir é a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é um espaço vetorial porque é definido por um conjunto de equações lineares que passam pela origem (isto é, todas as variáveis são igualadas a expressões lineares sem termos constantes). A dimensão de um espaço vetorial é basicamente o número de direções independentes nele.

Passo 3

Agora, vemos que temos duas equações:
Essas equações são independentes porque nenhuma delas pode ser obtida multiplicando a outra por um número. Cada equação reduz a dimensão do espaço original. No caso de , que tem dimensão 4, cada equação independente reduz a dimensão em 1.

Passo 4

Então, começamos com um espaço de dimensão 4. Aplicando a primeira equação ( ), reduzimos a dimensão para 3. Aplicando a segunda equação ( ), reduzimos mais uma vez a dimensão para 2.

Passo 5

Portanto, o espaço , que satisfaz as duas equações, terá dimensão 2. Isso significa que é um plano dentro de .

Resposta

A dimensão de é 2.

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