Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta quantos anagramas podemos formar com a palavra “MATEMÁTICA”. Aqui, estamos trabalhando com permutações de letras com repetições, um tema da combinatória. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fatorial, que é a multiplicação de todos os números inteiros positivos até um certo número.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantas letras tem na palavra “MATEMÁTICA”. Ela tem 10 letras.
Passo 3
Agora, vamos identificar se alguma letra se repete nessa palavra:
- A letra M aparece 2 vezes.
- A letra A aparece 3 vezes.
- A letra T aparece 2 vezes.
- As letras E, I e C aparecem 1 vez cada.
Passo 4
Quando temos letras que se repetem, precisamos ajustar nossa conta para evitar contar anagramas que só mudam a posição dessas letras repetidas, já que eles resultariam na mesma palavra. A fórmula para o número de anagramas quando há repetições é:
Onde:
- $ n $ é o total de letras.
- $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de cada letra que se repete.
Passo 5
Aplicando os valores que temos:
- Total de letras, $ n = 10 $
- Letras que se repetem:
- M: $ n_1 = 2 $
- A: $ n_2 = 3 $
- T: $ n_3 = 2 $
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular os fatoriais:
- $ 10! = 3.628.800 $
- $ 2! = 2 $
- $ 3! = 6 $
Substituindo na fórmula:
Resposta
O número de anagramas da palavra “MATEMÁTICA” é 151.200.