Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta quantos anagramas podemos formar com a palavra “MATEMÁTICA”. Aqui, estamos trabalhando com permutações de letras com repetições, um tema da combinatória. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fatorial, que é a multiplicação de todos os números inteiros positivos até um certo número.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas letras tem na palavra “MATEMÁTICA”. Ela tem 10 letras.

Passo 3

Agora, vamos identificar se alguma letra se repete nessa palavra:
  • A letra M aparece 2 vezes.
  • A letra A aparece 3 vezes.
  • A letra T aparece 2 vezes.
  • As letras E, I e C aparecem 1 vez cada.

Passo 4

Quando temos letras que se repetem, precisamos ajustar nossa conta para evitar contar anagramas que só mudam a posição dessas letras repetidas, já que eles resultariam na mesma palavra. A fórmula para o número de anagramas quando há repetições é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Onde:
  • $ n $ é o total de letras.
  • $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de cada letra que se repete.

Passo 5

Aplicando os valores que temos:
  • Total de letras, $ n = 10 $
  • Letras que se repetem:
    • M: $ n_1 = 2 $
    • A: $ n_2 = 3 $
    • T: $ n_3 = 2 $
Então, a fórmula fica:
n = 10

Passo 6

Agora, vamos calcular os fatoriais:
  • $ 10! = 3.628.800 $
  • $ 2! = 2 $
  • $ 3! = 6 $
Substituindo na fórmula:
10! = 3.628.800

Resposta

O número de anagramas da palavra “MATEMÁTICA” é 151.200.

Exercícios relacionados