Determine o número esperado de visitas ao estado , quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o número esperado de visitas ao estado quando tende ao infinito ( ). Isso está relacionado a processos estocásticos, especificamente cadeias de Markov ou caminhadas aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como estados recorrentes e transientes, além de fórmulas que calculam o número esperado de visitas a um estado específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “número esperado de visitas”. Em termos simples, é a média de vezes que esperamos visitar o estado ao longo de muitas tentativas ou em um processo com muitos passos ( grande).

Passo 3

Agora, precisamos considerar se o estado é recorrente ou transiente. Um estado é recorrente se, a partir dele, há certeza de retornar a ele eventualmente. Caso contrário, é transiente. Se for recorrente, o número esperado de visitas tende ao infinito quando vai para infinito. Se for transiente, o número esperado de visitas será finito.

Passo 4

Para determinar se é recorrente ou transiente, analisamos a probabilidade de retorno. Em uma cadeia de Markov irreducível e positiva recorrente, todos os estados são recorrentes e o número esperado de visitas é infinito. Porém, se houver possibilidade de escapar para um conjunto de estados que não retornam a , então pode ser transiente.

Passo 5

Assumindo que é recorrente (o que é comum em muitas cadeias simples como a caminhada aleatória simétrica), então o número esperado de visitas a quando é infinito. Isso porque, em cada ciclo da cadeia, há sempre uma chance de retornar a , e com o tempo, essas visitas se acumulam sem limite.

Resposta

O número esperado de visitas ao estado quando é infinito.

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