Determine o número esperado de visitas ao estado
, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o número esperado de visitas ao estado
quando
tende ao infinito (
). Isso está relacionado a processos estocásticos, especificamente cadeias de Markov ou caminhadas aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como estados recorrentes e transientes, além de fórmulas que calculam o número esperado de visitas a um estado específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “número esperado de visitas”. Em termos simples, é a média de vezes que esperamos visitar o estado
ao longo de muitas tentativas ou em um processo com muitos passos (
grande).
Passo 3
Agora, precisamos considerar se o estado
é recorrente ou transiente. Um estado é recorrente se, a partir dele, há certeza de retornar a ele eventualmente. Caso contrário, é transiente. Se
for recorrente, o número esperado de visitas tende ao infinito quando
vai para infinito. Se for transiente, o número esperado de visitas será finito.
Passo 4
Para determinar se
é recorrente ou transiente, analisamos a probabilidade de retorno. Em uma cadeia de Markov irreducível e positiva recorrente, todos os estados são recorrentes e o número esperado de visitas é infinito. Porém, se houver possibilidade de escapar para um conjunto de estados que não retornam a
, então
pode ser transiente.
Passo 5
Assumindo que
é recorrente (o que é comum em muitas cadeias simples como a caminhada aleatória simétrica), então o número esperado de visitas a
quando
é infinito. Isso porque, em cada ciclo da cadeia, há sempre uma chance de retornar a
, e com o tempo, essas visitas se acumulam sem limite.
Resposta
O número esperado de visitas ao estado
quando
é infinito.
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