Determine a ordem das EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y'' + 2y' + 10y = 0, y = 4e^{-x} sen(3x)

Passo 1

Então, temos um problema de EDO (Equação Diferencial Ordinária) onde precisamos determinar a ordem da equação dada:
E também verificar se a função:
é uma solução dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a ordem de uma EDO e como verificar se uma função é solução da EDO.

Passo 2

Ordem da EDO:
A ordem de uma EDO é o maior grau da derivada presente na equação. Observando a equação:
Temos:
  • y: função de segunda ordem.
  • y': primeira derivada.
  • y'': segunda derivada.
O maior grau da derivada aqui é 2, então a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Verificando se é solução:
Para verificar isso, precisamos substituir e suas derivadas na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de y.

Passo 4

Calculando y':
Usando a regra do produto e a derivada de e^-x e :
Simplificando:

Passo 5

Calculando y'':
Derivando y':
Simplificando:

Passo 6

Substituindo y, y' e y'' na EDO:
A equação é:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando todos:

Resposta

A EDO dada é de segunda ordem, e a função é uma solução válida dessa equação.

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