Determine a ordem das EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução (
são constantes arbitrárias).
Passo 1
Então, temos um problema de EDO (Equação Diferencial Ordinária) onde precisamos determinar a ordem da equação dada:
E também verificar se a função:
é uma solução dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a ordem de uma EDO e como verificar se uma função é solução da EDO.
Passo 2
Ordem da EDO:
A ordem de uma EDO é o maior grau da derivada presente na equação. Observando a equação:
Temos:
-
: função de segunda ordem. -
: primeira derivada. -
: segunda derivada.
O maior grau da derivada aqui é 2, então a equação é de segunda ordem.
Passo 3
Verificando se é solução:
Para verificar isso, precisamos substituir
e suas derivadas na EDO e ver se a igualdade é satisfeita.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
.
Passo 4
Calculando
:
Usando a regra do produto e a derivada de
e :
Simplificando:
Passo 5
Calculando
:
Derivando
:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
,
e
na EDO:
A equação é:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando todos:
Resposta
A EDO dada é de segunda ordem, e a função é uma solução válida dessa equação.