Prove as igualdades abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação
. Esse exercício faz parte do estudo das séries infinitas, mais especificamente das séries geométricas e suas variações. Para resolver, vamos utilizar propriedades das séries geométricas e algumas manipulações matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a soma para facilitar os cálculos. Observe que:
Podemos fatorar o
fora da soma:
Passo 3
Agora, vamos focar na série
. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
No entanto, aqui temos um termo adicional
multiplicando
. Existe uma fórmula para essa série:
Passo 4
Aplicando essa fórmula com
:
Passo 5
Voltando à nossa expressão inicial:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.