Prove as igualdades abaixo: sumn=1^infty n2^n-1=4

Passo 1

Vamos resolver a equação . Esse exercício faz parte do estudo das séries infinitas, mais especificamente das séries geométricas e suas variações. Para resolver, vamos utilizar propriedades das séries geométricas e algumas manipulações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a soma para facilitar os cálculos. Observe que:
sumn=1^infty n2^n-1 = sumn=1^infty n cdot 2^-(n-1) = sumn=1^infty n cdot 2^1 - n
Podemos fatorar o = 2 cdot sumn=1^infty n (12)^n fora da soma:

Passo 3

Agora, vamos focar na série sumn=0^infty a^n = 11 - a, para |a| < 1 . Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=1^infty n a^n = a(1 - a)^2, para |a| < 1
No entanto, aqui temos um termo adicional multiplicando . Existe uma fórmula para essa série:

Passo 4

Aplicando essa fórmula com sumn=1^infty n (12)^n = 12(1 - 12)^2 = 12(12)^2 = 1214 = 2 :

Passo 5

Voltando à nossa expressão inicial:
2 cdot sumn=1^infty n (12)^n = 2 cdot 2 = 4

Resposta

A soma infinita é igual a .

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