Determine o ponto do plano x + 2y - 3z = 4 mais próximo da origem, ou seja, minimize a função:
f(x, y, z, lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + lambda(x + 2y - 3z - 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ponto no plano que está mais próximo da origem. Isso significa que vamos minimizar a função . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A função combina a função que queremos minimizar (que representa a distância ao quadrado da origem) com a restrição do plano usando o multiplicador de Lagrange .
Para encontrar o mínimo, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , , e , e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora temos um sistema de equações para resolver:
Vamos simplificar essas equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação: → substituindo :
  1. Da terceira equação: → substituindo :
  1. Agora, substituímos e na quarta equação:

Passo 5

Com , calculamos e :

Resposta

O ponto do plano mais próximo da origem é .

Exercícios relacionados

Suponha que x=x(u, v) e y=y(u, v) sejam dadas implicitamente pelo sistema:
l u=x^2+y^2 v=x y
Expresse partial xpartial u e partial ypartial u em termos de x e y.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. x * e^(x - y) + z^3 = 2 em (2, 2, 1)
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. x^3 + y^3 + z^3 = 10 em (1, 1, 2)
Calcule as seguintes derivadas
e^(sen(x^3))