Suponha que
e
sejam dadas implicitamente pelo sistema:
Expresse
e
em termos de x e y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, ou seja,
e
. Estamos lidando com funções implícitas onde
e
são funções de
e
. Para resolver isso, vamos usar o método de derivadas implícitas e o conceito de derivadas parciais, que são ferramentas importantes em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que define
e
:
Nosso objetivo é encontrar
e
. Para isso, vamos derivar cada equação em relação a
, tratando
como constante (já que estamos interessados na variação de
e
em relação a
mantendo
fixo).
Passo 3
Vamos derivar a primeira equação
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda equação
em relação a
. Como
é uma constante, sua derivada é zero:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.
Passo 6
Vamos resolver o segundo sistema para uma das derivadas. Por exemplo, da segunda equação:
Podemos isolar
:
Passo 7
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Passo 8
Fatoramos
:
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Passo 9
Isolamos
:
Passo 10
Agora, voltamos à equação que encontramos para
:
Substituindo
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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