Suponha que x=x(u, v) e y=y(u, v) sejam dadas implicitamente pelo sistema:
l u=x^2+y^2 v=x y
Expresse partial xpartial u e partial ypartial u em termos de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , ou seja, e . Estamos lidando com funções implícitas onde e são funções de e . Para resolver isso, vamos usar o método de derivadas implícitas e o conceito de derivadas parciais, que são ferramentas importantes em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que define u = x^2 + y^2 v = x y e :
Nosso objetivo é encontrar e . Para isso, vamos derivar cada equação em relação a , tratando como constante (já que estamos interessados na variação de e em relação a mantendo fixo).

Passo 3

Vamos derivar a primeira equação partial upartial u = partialpartial u(x^2 + y^2) em relação a 1 = 2x partial xpartial u + 2y partial ypartial u :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda equação partial vpartial u = partialpartial u(x y) = 0 em relação a 0 = y partial xpartial u + x partial ypartial u . Como é uma constante, sua derivada é zero:
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 1 = 2x partial xpartial u + 2y partial ypartial u 0 = y partial xpartial u + x partial ypartial u e ):
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.

Passo 6

Vamos resolver o segundo sistema para uma das derivadas. Por exemplo, da segunda equação:
0 = y partial xpartial u + x partial ypartial u
Podemos isolar partial ypartial u = -yx partial xpartial u :

Passo 7

Agora, substituímos 1 = 2x partial xpartial u + 2y ( -yx partial xpartial u ) na primeira equação:
1 = 2x partial xpartial u - 2 y^2x partial xpartial u
Simplificando:

Passo 8

Fatoramos 1 = ( 2x - 2 y^2x ) partial xpartial u :
1 = 2x (1 - y^2x^2 ) partial xpartial u
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
1 = 2x ( x^2 - y^2x^2 ) partial xpartial u
1 = 2x cdot x^2 - y^2x^2 partial xpartial u
1 = 2 cdot x^2 - y^2x partial xpartial u

Passo 9

Isolamos partial xpartial u = x2(x^2 - y^2) :

Passo 10

Agora, voltamos à equação que encontramos para partial ypartial u = -yx partial xpartial u :
partial ypartial u = -yx cdot x2(x^2 - y^2) = -y2(x^2 - y^2)
Substituindo :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial xpartial u = x2(x^2 - y^2)
e
partial ypartial u = -y2(x^2 - y^2)

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