Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente envolvendo gradientes e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o plano tangente. Ele é um plano que “toca” a superfície exatamente naquele ponto dado, sem cortar a superfície ao redor dele. Para encontrar a equação desse plano, usamos o gradiente da função que define a superfície.
Passo 3
Vamos reescrever a equação da superfície como . O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação de e é perpendicular à superfície.
Passo 4
Calculando o gradiente , temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
em é
em é
em é
Portanto, .
Passo 6
Com o gradiente em mãos, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo e o ponto , temos:
Passo 7
Simplificando a equação:
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 8
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor gradiente .
Passo 9
A equação paramétrica da reta normal é:
onde é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: