Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. x * e^(x - y) + z^3 = 2 em (2, 2, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente envolvendo gradientes e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o plano tangente. Ele é um plano que “toca” a superfície exatamente naquele ponto dado, sem cortar a superfície ao redor dele. Para encontrar a equação desse plano, usamos o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

Vamos reescrever a equação da superfície como . O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação de e é perpendicular à superfície.

Passo 4

Calculando o gradiente , temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
  • em é
  • em é
  • em é
Portanto, .

Passo 6

Com o gradiente em mãos, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo e o ponto , temos:

Passo 7

Simplificando a equação:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor gradiente .

Passo 9

A equação paramétrica da reta normal é:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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