Determine o ponto da reta
cujo produto das coordenadas seja máximo, ou seja,
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto na reta
onde o produto das coordenadas
e
é máximo. Para isso, vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que queremos maximizar, que é o produto das coordenadas:
E a restrição dada pela reta:
Passo 3
No método de Lagrange, introduzimos um multiplicador,
, e formamos a função Lagrangiana:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, derivamos a Lagrangiana em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 5
Resolvemos o sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Substituímos
na equação (3):
Então,
Resposta
O ponto na reta
onde o produto das coordenadas é máximo é
.