Determine o ponto da reta x + 2y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo, ou seja, f(x, y, lambda) = x * y + lambda * (x + 2 * y - 1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto na reta onde o produto das coordenadas e é máximo. Para isso, vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos maximizar, que é o produto das coordenadas:
E a restrição dada pela reta:

Passo 3

No método de Lagrange, introduzimos um multiplicador, , e formamos a função Lagrangiana:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, derivamos a Lagrangiana em relação a , e e igualamos a zero:

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Substituímos na equação (3):
Então,

Resposta

O ponto na reta onde o produto das coordenadas é máximo é .

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