(2,5 pontos) Determine
para que
seja tangente ao gráfico de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o valor de
para que a reta
seja tangente ao gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de tangência entre duas curvas e usar derivadas para encontrar a inclinação da reta nessa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um gráfico. Uma reta é tangente a uma curva em um ponto específico se ela toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde a reta
é tangente ao gráfico de
, precisamos que as duas funções se interceptem em um ponto comum e que suas derivadas (inclinações) sejam iguais nesse ponto.
Passo 4
Vamos igualar as duas funções para encontrar o ponto de interseção:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Para que haja apenas um ponto de interseção (tangência), essa equação cúbica deve ter uma raiz dupla. Isso significa que a derivada da função cúbica também será igual à derivada da reta no ponto de tangência.
Passo 6
Vamos calcular a derivada da função
:
E a derivada da reta
é simplesmente
.
Passo 7
Igualando as derivadas no ponto de tangência:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos substituir
da segunda equação na primeira:
Simplificando:
Passo 9
Agora que encontramos
, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Resposta
O valor de
é
.