(2,5 pontos) Determine beta para que y = beta x + 2 seja tangente ao gráfico de f(x) = x^3 - 9x
x = 6; f(6) = 6^3 - 9 * 6; 216 - 54 = 162

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o valor de beta para que a reta seja tangente ao gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender o conceito de tangência entre duas curvas e usar derivadas para encontrar a inclinação da reta nessa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um gráfico. Uma reta é tangente a uma curva em um ponto específico se ela toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde a reta é tangente ao gráfico de , precisamos que as duas funções se interceptem em um ponto comum e que suas derivadas (inclinações) sejam iguais nesse ponto.

Passo 4

Vamos igualar as duas funções para encontrar o ponto de interseção:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Para que haja apenas um ponto de interseção (tangência), essa equação cúbica deve ter uma raiz dupla. Isso significa que a derivada da função cúbica também será igual à derivada da reta no ponto de tangência.

Passo 6

Vamos calcular a derivada da função f(x):
E a derivada da reta é simplesmente beta.

Passo 7

Igualando as derivadas no ponto de tangência:

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos substituir beta da segunda equação na primeira:
Simplificando:

Passo 9

Agora que encontramos , vamos usar a segunda equação para encontrar beta:

Resposta

O valor de beta é .

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