Determine os pontos onde a função
é descontínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir onde a função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} $ não é contínua. Isso envolve entender o que significa uma função ser descontínua e como identificar esses pontos usando álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} $. O objetivo aqui é simplificar essa expressão para ver se conseguimos identificar onde ela pode estar com problemas, ou seja, onde pode ter descontinuidades.
Passo 3
Notamos que o numerador $ x^{2} - 4 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração. O que a gente faz aqui é cancelar o $ (x - 2) $ que está no numerador e no denominador:
Mas atenção! Isso só é válido para $ x \neq 2 $, porque se $ x = 2 $, o denominador original seria zero, o que não é permitido.
Passo 5
Então, a função simplificada é $ f(x) = x + 2 $ para todos os valores de $ x $ exceto $ x = 2 $. No ponto $ x = 2 $, a função não está definida, pois teríamos uma divisão por zero. Isso significa que há uma descontinuidade nesse ponto.
Passo 6
Essa descontinuidade é conhecida como “removível” porque, se a gente definir $ f(2) = 4 $ (já que $ 2 + 2 = 4 $), a função ficaria contínua em todo lugar. Mas, como está definida originalmente sem esse ponto, ela continua descontínua em $ x = 2 $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} $ é descontínua no ponto $ x = 2 $.