Calcule lim x infty x^2+12 x^2-3.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de uma função quando $ x $ vai para o infinito. A função que a gente tem é $ \frac{x{2}+1}{2x{2}-3} $. Isso faz parte do estudo de limites de funções racionais, onde a gente olha como os termos de maior grau no numerador e no denominador se comportam quando $ x $ fica muito grande. Vamos precisar focar nesses termos de maior grau para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ x^2 $ e no denominador também é $ 2x^2 $. Esses são os termos que vão dominar o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos fatorar $ x^2 $ tanto no numerador quanto no denominador. Isso significa que vamos dividir cada termo pela potência de $ x $ de maior grau:
x^2

Passo 4

Em seguida, podemos simplificar a expressão cancelando o $ x^2 $ que está no numerador e no denominador:
x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando $ x $ vai para o infinito. Os termos $ \frac{1}{x^{2}} $ e $ \frac{3}{x^{2}} $ vão se tornar muito pequenos, praticamente zero. Então, a expressão fica:
x

Resposta

O limite é $ \frac{1}{2} $.

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