Determine a posição relativa entre as retas dadas e a circunferência
. c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência dada por
e uma reta
. A gente precisa descobrir qual a posição relativa entre essa reta e a circunferência, ou seja, se a reta corta a circunferência, se é tangente ou se elas não se encontram. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo da distância entre um ponto e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência em forma padrão. Isso ajuda a identificar o centro e o raio da circunferência, que são informações importantes para calcular a distância até a reta.
A equação dada é:
Para colocar em forma padrão, completamos os quadrados:
Então, a circunferência tem centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta
. Para facilitar o cálculo da distância, vamos reescrevê-la na forma geral
:
Aqui,
,
, e
.
Passo 4
A próxima etapa é calcular a distância entre o centro da circunferência
e a reta
. A fórmula da distância
entre um ponto
e uma reta
é:
Vamos aplicar essa fórmula:
Passo 5
Agora, comparamos a distância
com o raio
da circunferência:
Como a distância é igual ao raio, isso significa que a reta toca a circunferência exatamente em um ponto, ou seja, a reta é uma tangente à circunferência.
Resposta
A reta
é tangente à circunferência
.