Determine a posição relativa entre as retas dadas e a circunferência lambda: x^2 - 10 x + y^2 + 6 y + 29 = 0. c) t: 2y - x + 6 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência dada por e uma reta . A gente precisa descobrir qual a posição relativa entre essa reta e a circunferência, ou seja, se a reta corta a circunferência, se é tangente ou se elas não se encontram. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo da distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência em forma padrão. Isso ajuda a identificar o centro e o raio da circunferência, que são informações importantes para calcular a distância até a reta.
A equação dada é:
Para colocar em forma padrão, completamos os quadrados:
Então, a circunferência tem centro em e raio raiz(5).

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta . Para facilitar o cálculo da distância, vamos reescrevê-la na forma geral :
Aqui, , , e .

Passo 4

A próxima etapa é calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta . A fórmula da distância D entre um ponto e uma reta é:
Vamos aplicar essa fórmula:

Passo 5

Agora, comparamos a distância D com o raio r da circunferência:
Como a distância é igual ao raio, isso significa que a reta toca a circunferência exatamente em um ponto, ou seja, a reta é uma tangente à circunferência.

Resposta

A reta é tangente à circunferência .

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