Em cada item, determine, caso existam, as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção entre a reta r e a circunferência lambda dadas. d) lambda: 2 x^2 + 8 x + 2 y^2 - 8 y + 14 = 0 e r: x - 3y + 5 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar onde a reta e a circunferência se encontram, ou seja, os pontos de interseção delas. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, e para resolver isso vamos precisar das equações da reta e da circunferência e usar um pouco de álgebra para encontrar os pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
A circunferência é dada por:
E a reta é dada por:
Vamos simplificar a equação da circunferência para facilitar nosso trabalho. Podemos dividir todos os termos por 2:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para colocar a equação da circunferência na forma padrão .
Para o termo de :
Para o termo de :
Substituindo de volta na equação:
Agora vemos que a circunferência tem centro em e raio .

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação da reta para uma das variáveis e substituir na equação da circunferência. Vamos isolar na equação da reta:

Passo 5

Substituímos na equação da circunferência:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a cada usando .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos de interseção entre a reta e a circunferência são:
e

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