Em cada item, determine, caso existam, as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção entre a reta
e a circunferência
dadas. d)
e r:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar onde a reta
e a circunferência
se encontram, ou seja, os pontos de interseção delas. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, e para resolver isso vamos precisar das equações da reta e da circunferência e usar um pouco de álgebra para encontrar os pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos:
A circunferência
é dada por:
E a reta
é dada por:
Vamos simplificar a equação da circunferência para facilitar nosso trabalho. Podemos dividir todos os termos por 2:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para colocar a equação da circunferência na forma padrão
.
Para o termo de
:
Para o termo de
:
Substituindo de volta na equação:
Agora vemos que a circunferência tem centro em
e raio
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação da reta para uma das variáveis e substituir na equação da circunferência. Vamos isolar
na equação da reta:
Passo 5
Substituímos
na equação da circunferência:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes a cada
usando
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos de interseção entre a reta
e a circunferência
são:
e