Determine a potência complexa para os seguintes casos:
(a) P=269 W, Q=150 VAR (capacitivo)
(b) Q=2.000 VAR, FP=0,9 (adiantado)
© S=600 VA, Q=450 VAR (indutivo)
(d) V RMS =220 V, P=1 kW,
|Z|=40 Omega (indutivo)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira parte do exercício. A questão pede para determinar a potência complexa quando sabemos a potência ativa ( P) e a potência reativa ( Q) em um sistema capacitivo. Isso está dentro do conteúdo de eletricidade e circuitos AC. Para resolver, vamos usar a relação entre as potências ativa, reativa e complexa, além do conceito de fator de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência complexa ( S) é uma combinação da potência ativa ( P) e da potência reativa ( Q). Ela é representada por um número complexo:
S = P + jQ
Onde:
  • P é a potência ativa em watts (W)
  • Q é a potência reativa em volt-ampere reativo (VAR)
  • j é a unidade imaginária

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
S = 269,W + j150,VAR

Passo 4

Agora, podemos calcular a magnitude da potência complexa usando o teorema de Pitágoras:
|S| = raizP^2 + Q^2
|S| = raiz269^2 + 150^2
|S| = raiz72361 + 22500
|S| = raiz94861
|S| approx 308.03,VA

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte do exercício. Aqui, precisamos encontrar a potência reativa ( Q) sabendo a potência reativa já ( 2.000,VAR) e o fator de potência (FP) que é adiantado. O fator de potência relacionado com a eficiência e o ângulo de fase entre tensão e corrente. Vamos usar essas relações para resolver.

Passo 6

Sabemos que o fator de potência é definido como:
FP = cos(phi)
Onde phi é o ângulo de fase. Como o fator de potência é adiantado, o componente reativo é capacitivo, então Q será negativo. Porém, no enunciado já temos Q, então precisamos relacionar o fator de potência com a potência ativa ( P).
Primeiro, vamos encontrar a potência ativa usando:
FP = P|S|
Mas como já temos Q e sabemos que:
|S| = PFP
E também:
|S| = raizP^2 + Q^2

Passo 7

Igualando as duas expressões para |S|:
PFP = raizP^2 + Q^2
Substituindo os valores:
P0,9 = raizP^2 + (2000)^2

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(P0,9)^2 = P^2 + 4.000.000
P^20,81 = P^2 + 4.000.000
Multiplicando ambos os lados por 0,81:
P^2 = 0,81P^2 + 3.240.000
P^2 - 0,81P^2 = 3.240.000
0,19P^2 = 3.240.000
P^2 = 3.240.0000,19
P^2 approx 17.052.632,63
P approx raiz17.052.632,63
P approx 4.130,W

Passo 9

Vamos resolver a terceira parte do exercício. Aqui, precisamos determinar a potência complexa sabendo a potência aparente ( S) e a potência reativa ( Q) em um sistema indutivo. Isso envolve trabalhar com as relações entre potências em circuitos AC.

Passo 10

A potência complexa ( S) é dada por:
S = P + jQ
Onde:
  • P é a potência ativa
  • Q é a potência reativa
Como o sistema é indutivo, Q será positivo. Sabemos a potência aparente S = 600,VA e a potência reativa Q = 450,VAR. Precisamos encontrar P.

Passo 11

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude da potência complexa é:
|S| = raizP^2 + Q^2
Substituindo os valores:
600 = raizP^2 + 450^2

Passo 12

Elevando ambos os lados ao quadrado:
600^2 = P^2 + 450^2
360.000 = P^2 + 202.500
P^2 = 360.000 - 202.500
P^2 = 157.500
P = raiz157.500
P approx 396,83,W

Passo 13

Por fim, vamos resolver a quarta parte do exercício. Precisamos determinar a potência complexa sabendo a tensão eficaz ( VRMS), a potência ativa ( P) e a impedância ( |Z|) em um sistema indutivo. Vamos usar conceitos de circuitos AC, como a relação entre tensão, corrente e impedância.

Passo 14

Primeiro, vamos encontrar a corrente no circuito usando a Lei de Ohm para AC:
I = VZ
Onde:
  • VRMS = 220,V
  • |Z| = 40,Omega
I = 22040 = 5,5,A

Passo 15

Agora, sabemos que a potência ativa ( P) é dada por:
P = V cdot I cdot cos(phi)
Onde cos(phi) é o fator de potência. Vamos rearranjar para encontrar cos(phi):
cos(phi) = PV cdot I
Substituindo os valores:
cos(phi) = 1000220 cdot 5,5
cos(phi) = 10001210
cos(phi) approx 0,8264

Passo 16

Agora, podemos encontrar a potência reativa ( Q) usando a relação:
Q = V cdot I cdot sin(phi)
Primeiro, vamos encontrar sin(phi):
sin(phi) = raiz1 - cos^2(phi)
sin(phi) = raiz1 - 0,8264^2
sin(phi) = raiz1 - 0,6833
sin(phi) = raiz0,3167
sin(phi) approx 0,5625
Agora, calculamos Q:
Q = 220 cdot 5,5 cdot 0,5625
Q = 220 cdot 5,5 cdot 0,5625 approx 682,5,VAR

Resposta

A potência complexa é S = 1.000,W + j682,5,VAR.

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