Uma carga é formada por um resistor de 60 Omega em paralelo com um capacitor de 90 mu F. Se a carga for conectada a uma fonte de tensão vs(t)=160 cos 2.000 t, determine a potência média liberada para a carga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito que tem um resistor de em paralelo com um capacitor de . Esse circuito está ligado a uma fonte de tensão que varia no tempo como . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a potência média que essa carga consome. Vamos precisar de conceitos de circuitos AC, como impedância e potência média, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa termos um resistor e um capacitor em paralelo. Em um circuito paralelo, a tensão é a mesma em todos os componentes. A presença do capacitor significa que temos uma componente reativa que vai afetar a impedância total do circuito. Para trabalhar com esses elementos, precisamos calcular a impedância equivalente do circuito.

Passo 3

A impedância de um resistor ( ZC = 1j cdot 2000 cdot 90 times 10^-6 = 1j cdot 0.18 = -j cdot 10.18 approx -j5.56, Omega ) é simplesmente , e a impedância de um capacitor ( ) em regime alternado é dada por , onde é a unidade imaginária e é a frequência angular. Aqui, . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, para calcular a impedância equivalente ( 1Zeq = 1R + 1ZC ) de dois componentes em paralelo, usamos a fórmula:
1Zeq = 160 + 1-j5.56 = 160 - j0.18
Substituindo os valores:
Zeq = 1160 - j0.18
Para encontrar Zeq = 1160 - j0.18 cdot 160 + j0.18160 + j0.18 = 160 + j0.18( 160 )^2 + (0.18)^2 , calculamos o inverso dessa soma:
Zeq = 0.0167 + j0.180.000278 + 0.0324 = 0.0167 + j0.180.032678 approx 0.511 + j5.52, Omega
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Calculando os valores:

Passo 5

Agora que temos a impedância equivalente, podemos calcular a corrente que a fonte fornece ao circuito usando a Lei de Ohm para AC:
I = VZeq = 160, V0.511 + j5.52, Omega
Para simplificar, calculamos o módulo de |Zeq| = raiz0.511^2 + 5.52^2 approx raiz0.261 + 30.50 approx raiz30.761 approx 5.54, Omega :
Irms = Vrms|Zeq|
Agora, a corrente RMS ( Irms = 113.145.54 approx 20.43, A ) é:
Sabendo que :

Passo 6

Para encontrar a potência média ( Pmédio = Vrms times Irms times cos(phi) é), usamos a fórmula:
phi = arctan( XR ) = arctan( 5.520.511 ) approx arctan(10.8) approx 84.3^circ é
Onde cos(84.3^circ) approx 0.10 é o fator de potência, que é o cosseno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente. Esse ângulo pode ser encontrado a partir da impedância:
Pmédio = 113.14, V times 20.43, A times 0.10 approx 230.7, W
Então,
Agora, calculando a potência média:
é

Resposta

A potência média liberada para a carga é aproximadamente .

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