Determine o quociente q e o resto r da divisão euclidiana de a por b, onde a=144 e b=-7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o quociente e o resto da divisão euclidiana de por , onde e . Para isso, vamos usar o conceito de divisão euclidiana, que nos ajuda a dividir um número por outro e encontrar esses dois valores importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão euclidiana. Quando dividimos a = b times q + r por 0 <= r < |b| , a gente quer achar e que satisfaçam a seguinte equação:
Além disso, o resto precisa ser tal que:
Isso significa que o resto sempre será um número não negativo e menor que o valor absoluto de .

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na equação. Sabemos que 144 = (-7) times q + r e . Então, a equação fica:
Nosso objetivo é encontrar e que satisfaçam essa igualdade.

Passo 4

Para encontrar q = 144-7 approx -20,571 , vamos dividir por .
Como o quociente na divisão euclidiana deve ser um número inteiro, arredondamos para o inteiro mais próximo que satisfaça a condição do resto. Nesse caso, arredondamos para .

Passo 5

Agora que temos r = 144 - (-7) times (-21) , vamos encontrar o resto (-7) times (-21) = 147 usando a equação:
r = 144 - 147 = -3
Primeiro, calculamos :
Então:
No entanto, o resto deve ser não negativo e menor que . Como não atende a essa condição, precisamos ajustar .

Passo 6

Para garantir que o resto seja não negativo, aumentamos q = -21 + 1 = -20 em 1:
r = 144 - (-7) times (-20) = 144 - 140 = 4
Agora, recalculamos o resto :
Agora, está dentro do intervalo , então está correto.

Resposta

O quociente é e o resto é .

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