Determine o quociente q e o resto r da divisão euclidiana de a por b, onde a=-144 e b=-7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o quociente e o resto da divisão euclidiana de por , onde e . Para isso, vamos usar o conceito de divisão euclidiana, que basicamente nos diz que qualquer número inteiro pode ser dividido por outro, resultando em um quociente e um resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão euclidiana. A ideia é que, ao dividir a = b times q + r por , a gente tem a relação:
onde:
  • é o quociente,
  • é o resto,
  • e .
Isso significa que o resto sempre fica entre 0 e o valor absoluto de (neste caso, 7), mas nunca chega a ser igual a 7.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
-144 = (-7) times q + r
Nosso objetivo é encontrar e que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Vamos isolar -7 times q = -144 - r primeiro. Para isso, podemos rearranjar a equação:
q = -144 - r-7
q = 144 + r7
Como deve ser menor que 7, vamos testar valores de de 0 até 6 para encontrar qual valor faz ser inteiro.

Passo 5

Vamos testar q = 144 + 07 = 1447 approx 20,57 :
q = 144 + 17 = 1457 approx 20,71
Não é inteiro.
Teste :
Ainda não é inteiro.
Continuando assim, até encontrarmos o valor que deixa inteiro.

Passo 6

Testando q = 144 + 47 = 1487 = 21,14 :
q = 144 + 57 = 1497 approx 21,29
Ainda não é inteiro.
Testando q = 144 + 67 = 1507 approx 21,43 :
Ainda não é inteiro.
Testando :
Ainda não é inteiro.
Parece que nenhum valor de entre 0 e 6 deixa como inteiro. Isso significa que temos que ajustar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos considerar que q = lfloor -144-7 rfloor = lfloor 20,57 rfloor = 20 pode ser arredondado para baixo para garantir que -144 = (-7) times 20 + r fique dentro do intervalo desejado. Então, vamos calcular:
-144 = -140 + r
Agora, usamos r = -144 + 140 para encontrar r = -4 :
q = 21
-144 = (-7) times 21 + r
-144 = -147 + r
r = -144 + 147
Mas r = 3 não pode ser negativo. Então, incrementamos em 1:
Agora, recalculamos :
Agora, está dentro do intervalo .

Resposta

O quociente é igual a e o resto é igual a .

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