Determine o quociente e o resto da divisão euclidiana de a por , onde e b = - 14.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar o quociente e o resto da divisão euclidiana de por , onde e . Vamos usar os conceitos de divisão euclidiana, que envolve encontrar esses dois valores de forma que a divisão seja completa e o resto seja menor que o divisor em valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa divisão euclidiana. Quando dividimos um número inteiro por outro inteiro (com ), a divisão euclidiana nos dá um quociente e um resto que satisfazem a equação:
com a condição de que . Aqui, é o valor absoluto de , garantindo que o resto seja sempre positivo, mesmo que o divisor seja negativo.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos:
Queremos encontrar e tais que:
e

Passo 4

Para encontrar , precisamos ver quantas vezes cabe em . Como é negativo, vamos pensar na quantidade de vezes que cabe em e depois ajustar o sinal.
Dividindo por :
Isso significa que cabe 9 vezes completas em , com algum resto.

Passo 5

Então, o quociente será o número inteiro mais próximo que, multiplicado por , fica menor ou igual a . Nesse caso, , porque:
Agora, ajustamos isso para que a soma com dê exatamente .

Passo 6

Agora, substituímos na equação:
Resolvendo para :
Mas, isso não satisfaz a condição , então ajustamos para .

Passo 7

Com :
Resolvendo para :
Agora, o resto satisfaz a condição .

Resposta

O quociente é igual a e o resto é igual a .

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