Determine o quociente q e o resto r da divisão euclidiana de a por b, onde a=139 e b = - 14.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar o quociente e o resto da divisão euclidiana de por , onde e . Vamos usar os conceitos de divisão euclidiana, que envolve encontrar esses dois valores de forma que a divisão seja completa e o resto seja menor que o divisor em valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa divisão euclidiana. Quando dividimos um número inteiro a = b times q + r por outro inteiro (com ), a divisão euclidiana nos dá um quociente e um resto que satisfazem a equação:
com a condição de que . Aqui, é o valor absoluto de , garantindo que o resto seja sempre positivo, mesmo que o divisor seja negativo.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos:
a = 139
b = -14
Queremos encontrar 139 = (-14) times q + r e 0 <= r < 14 tais que:
e

Passo 4

Para encontrar 139 div 14 = 9,928 , precisamos ver quantas vezes cabe em . Como é negativo, vamos pensar na quantidade de vezes que cabe em e depois ajustar o sinal.
Dividindo por :
Isso significa que cabe 9 vezes completas em , com algum resto.

Passo 5

Então, o quociente (-14) times (-10) = 140 será o número inteiro mais próximo que, multiplicado por , fica menor ou igual a . Nesse caso, , porque:
Agora, ajustamos isso para que a soma com dê exatamente .

Passo 6

Agora, substituímos 139 = (-14) times (-10) + r na equação:
139 = 140 + r
r = 139 - 140 = -1
Resolvendo para :
Mas, isso não satisfaz a condição , então ajustamos para .

Passo 7

Com 139 = (-14) times (-9) + r :
139 = 126 + r
r = 139 - 126 = 13
Resolvendo para :
Agora, o resto satisfaz a condição .

Resposta

O quociente é igual a e o resto é igual a .

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