Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais. integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 d x d y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma integral dupla:
integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 , dx , dy
O objetivo é inverter a ordem de integração e calcular essa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Originalmente, varia de a , e para cada valor de , varia de a .

Passo 3

Para inverter a ordem, precisamos expressar em termos de . Observando os limites, para um dado , varia de até . Além disso, varia de a .

Passo 4

Assim, a integral invertida fica:
integral0^raizln 3 integral0^2x e^x^2 , dy , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a integral0^2x e^x^2 , dy = e^x^2 cdot (2x - 0) = 2x e^x^2 . Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 6

Substituindo na integral externa, temos:
2 integral0^raizln 3 x e^x^2 , dx

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja 2 cdot 12 integral0^ln 3 e^u , du = integral0^ln 3 e^u , du , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 8

Integrando e^u |0^ln 3 = e^ln 3 - e^0 = 3 - 1 = 2 , obtemos:

Resposta

O valor da integral é .

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