Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma integral dupla:
O objetivo é inverter a ordem de integração e calcular essa integral. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a troca da ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Originalmente, varia de a , e para cada valor de , varia de a .
Passo 3
Para inverter a ordem, precisamos expressar em termos de . Observando os limites, para um dado , varia de até . Além disso, varia de a .
Passo 4
Assim, a integral invertida fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a . Como é constante em relação a , a integral fica:
Passo 6
Substituindo na integral externa, temos:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então . Isso simplifica a integral para: