Determine o raio de curvatura, em cm, de um espelho esférico que obedece às condições de nitidez de Gauss e que conjuga de um determinado objeto uma imagem invertida, de tamanho igual a 1/3 do tamanho do objeto e situada sobre o eixo principal desse espelho. Sabe-se que a distância entre a imagem e o objeto é de 80 cm.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre espelhos esféricos na matéria de Óptica. O problema diz que há um objeto que forma uma imagem invertida com tamanho igual a 1/3 do objeto, e a distância entre o objeto e a imagem é de 80 cm. A gente precisa descobrir o raio de curvatura desse espelho. Para resolver, vamos usar as fórmulas de ampliação e a equação dos espelhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação de ampliação. A ampliação $ m $ é a relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto, e também está relacionada às distâncias do objeto ($ p
q $) pelo $ m = -\frac{q}{p} $. Aqui, a imagem é 1/3 do objeto e invertida, então:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 3
Sabemos também que a distância entre o objeto e a imagem é de 80 cm. Como o objeto e a imagem estão do mesmo lado do espelho (realmente para um espelho côncavo), a distância total é a soma das distâncias individuais:
Substituindo $ q $ da equação anterior:
Passo 4
Agora que temos $ p = 60 cm $, podemos encontrar $ q $:
Passo 5
Vamos usar a equação dos espelhos para encontrar a distância focal ($ f $):
Passo 6
Por último, o raio de curvatura ($ R $) do espelho está relacionado com a distância focal pela fórmula:
Resposta
O raio de curvatura do espelho é 30 cm.