Determine a relação de vazões entre um canal trapezoidal em taludes 1 H: 1 V, largura de fundo igual a 3 times a altura dágua, e um canal trapezoidal de mesmo ângulo de talude, mesma área molhada, mesma rugosidade e declividade de fundo, trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado.
Resposta: Q1 / Q2=0,95

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois canais trapezoidais com algumas características semelhantes: o ângulo dos taludes, a declividade do fundo, a rugosidade e a área molhada são as mesmas. O primeiro canal tem taludes com relação 1 H: 1 V, ou seja, para cada unidade de altura, a base do talude se estende igualmente horizontalmente e verticalmente. Além disso, a largura de fundo desse canal é três vezes a altura d’água ( b = 3y).
Queremos encontrar a relação entre as vazões desses dois canais ( Q1 / Q2), assumindo que o segundo canal está operando na condição de mínimo perímetro molhado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais abertos, especialmente relacionados à geometria dos canais trapezoidais e à equação de Manning para vazão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da vazão para canais abertos usando a equação de Manning:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2
Onde:
  • A é a área molhada,
  • R é o raio hidráulico ( R = AP),
  • P é o perímetro molhado,
  • S é a declividade do fundo,
  • n é o coeficiente de rugosidade.
Como os dois canais têm a mesma declividade, rugosidade e área, a diferença na vazão está relacionada ao raio hidráulico, que depende do perímetro molhado.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro canal ( Canal 1) com taludes 1 H: 1 V e largura de fundo b = 3y. A área molhada A para um canal trapezoidal é dada por:
A = (b + zy) y
Onde z é a razão dos taludes horizontais para a verticais (no nosso caso, z = 1).
Substituindo b = 3y e z = 1:
A1 = (3y + 1 cdot y) y = 4y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o perímetro molhado P para o Canal 1:
P = b + 2 y raiz1^2 + z^2
Para nossos taludes 1 H: 1 V, temos:
P1 = 3y + 2 y raiz1 + 1 = 3y + 2y raiz2 = y (3 + 2raiz2)

Passo 5

O raio hidráulico R é dado por:
R = AP
Então, para o Canal 1:
R1 = 4y^2y (3 + 2raiz2) = 4y3 + 2raiz2

Passo 6

Agora, consideramos o segundo canal ( Canal 2), que está operando na condição de mínimo perímetro molhado. Para canais trapezoidais, o mínimo perímetro ocorre quando:
b = z y raiz1 + z^2
Como os taludes são os mesmos ( z = 1), temos:
b = y raiz2
Então, a largura de fundo para o Canal 2 é b2 = y raiz2.

Passo 7

Calculamos a área molhada para o Canal 2:
A2 = (b2 + z y) y = (y raiz2 + y) y = y^2 (raiz2 + 1)

Passo 8

Calculamos o perímetro molhado para o Canal 2:
P2 = b2 + 2 y raiz1 + z^2 = y raiz2 + 2 y raiz2 = y raiz2 (1 + 2) = 3 y raiz2

Passo 9

Calculamos o raio hidráulico para o Canal 2:
R2 = A2P2 = y^2 (raiz2 + 1)3 y raiz2 = y (raiz2 + 1)3 raiz2

Passo 10

Agora, vamos relacionar as vazões dos dois canais usando a equação de Manning. Como todos os outros fatores são iguais, a relação das vazões será proporcional a (R1)^2/3 / (R2)^2/3.
Q1Q2 = ( R1R2 )^2/3
Substituindo R1 e R2:
Q1Q2 = ( 4y3 + 2raiz2y (raiz2 + 1)3 raiz2 )^2/3 = ( 4 cdot 3 raiz2(3 + 2raiz2)(raiz2 + 1) )^2/3
Simplificando:
4 cdot 3 raiz2(3 + 2raiz2)(raiz2 + 1) = 12 raiz23 raiz2 + 3 + 2 cdot 2 + 2raiz2 = 12 raiz23 raiz2 + 3 + 4 + 2raiz2 = 12 raiz25 raiz2 + 7
Calculando numericamente:
5 raiz2 approx 7.071, 7 + 7.071 = 14.071
12 raiz214.071 approx 16.97014.071 approx 1.208
Q1Q2 = (1.208)^2/3 approx 0.95

Resposta

A relação entre as vazões é Q1 / Q2 = 0,95.

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