Determine as relações entre o raio atômico e o parâmetro de rede para o sistema cúbico em metais, CCC, CFC e HC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir como o raio atômico ($ r r â a $) em diferentes sistemas cúbicos de metais: CCC (Cúbico Simples), BCC (Cúbico de Corpo Centrado), FCC (Cúbico de Face Centrada) e HC (Hexagonal Compacta). Para isso, vamos usar um pouco de geometria dos cristais e entender como os átomos estão arranjados nesses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Cúbico Simples (CCC). Nesse sistema, os átomos estão colocados apenas nos vértices do cubo. Como cada aresta do cubo é tocada por dois átomos (um em cada extremidade), a distância entre os centros desses dois átomos é igual a duas vezes o raio atômico.
A aresta do cubo ($ a a ãô r $) por:
r

Passo 3

Agora, vamos para o Cúbico de Corpo Centrado (BCC). Aqui, além dos átomos nos vértices do cubo, há um átomo no centro do cubo. Para descobrir a relação entre $ a $ e $ r $, observamos a diagonal do corpo do cubo, que passa por quatro raios atômicos (do vértice até o centro e do centro até o vértice oposto).
A diagonal do corpo ($ d $) pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras em três dimensões:
a
Sabemos que essa diagonal é igual a quatro raios atômicos:
r
d

Passo 4

Seguimos para o Cúbico de Face Centrada (FCC). Nesse sistema, além dos átomos nos vértices, há um átomo no centro de cada face do cubo. A relação entre $ a $ e $ r $ pode ser encontrada olhando para a diagonal da face do cubo, que passa por dois raios de átomos.
A diagonal da face ($ d_f $) é:
a
Essa diagonal é igual a quatro raios atômicos:
r
df

Passo 5

Por fim, vamos para a Hexagonal Compacta (HC). Embora não seja cúbica, é comum compará-la em estudos de estruturas cristalinas. Na HC, os átomos estão organizados de forma que cada camada é composta por uma disposição hexagonal. A relação entre $ a $ e $ r $ considera a altura da célula unitária.
A relação padrão para HC é:
a
Simplificando, temos:
r

Resposta

As relações entre o raio atômico ($ r r â a $) para os sistemas são:
  • Cúbico Simples (CCC):
    a
  • Cúbico de Corpo Centrado (BCC):
    a = 2r
  • Cúbico de Face Centrada (FCC):
    a = 4rraiz3
  • Hexagonal Compacta (HC):
    a = 2raiz2, r

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