Determine as relações entre o raio atômico e o parâmetro de rede para o sistema cúbico em metais, CCC, CFC e HC.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir como o raio atômico ($ r
a $) em diferentes sistemas cúbicos de metais: CCC (Cúbico Simples), BCC (Cúbico de Corpo Centrado), FCC (Cúbico de Face Centrada) e HC (Hexagonal Compacta). Para isso, vamos usar um pouco de geometria dos cristais e entender como os átomos estão arranjados nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Cúbico Simples (CCC). Nesse sistema, os átomos estão colocados apenas nos vértices do cubo. Como cada aresta do cubo é tocada por dois átomos (um em cada extremidade), a distância entre os centros desses dois átomos é igual a duas vezes o raio atômico.
A aresta do cubo ($ a
r $) por:
Passo 3
Agora, vamos para o Cúbico de Corpo Centrado (BCC). Aqui, além dos átomos nos vértices do cubo, há um átomo no centro do cubo. Para descobrir a relação entre $ a $ e $ r $, observamos a diagonal do corpo do cubo, que passa por quatro raios atômicos (do vértice até o centro e do centro até o vértice oposto).
A diagonal do corpo ($ d $) pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras em três dimensões:
Sabemos que essa diagonal é igual a quatro raios atômicos:
Passo 4
Seguimos para o Cúbico de Face Centrada (FCC). Nesse sistema, além dos átomos nos vértices, há um átomo no centro de cada face do cubo. A relação entre $ a $ e $ r $ pode ser encontrada olhando para a diagonal da face do cubo, que passa por dois raios de átomos.
A diagonal da face ($ d_f $) é:
Essa diagonal é igual a quatro raios atômicos:
Passo 5
Por fim, vamos para a Hexagonal Compacta (HC). Embora não seja cúbica, é comum compará-la em estudos de estruturas cristalinas. Na HC, os átomos estão organizados de forma que cada camada é composta por uma disposição hexagonal. A relação entre $ a $ e $ r $ considera a altura da célula unitária.
A relação padrão para HC é:
Simplificando, temos:
Resposta
As relações entre o raio atômico ($ r
a $) para os sistemas são:
-
Cúbico Simples (CCC):
-
Cúbico de Corpo Centrado (BCC):
-
Cúbico de Face Centrada (FCC):
-
Hexagonal Compacta (HC):