Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
F(R, R) o espaço de todas as funções de R em R e L: F(R, R) F(R, R) definida como
L(f(x))=f(x+1)-f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ L $, definida por $ L(f(x)) = f(x+1) - f(x) $, é uma transformação linear. Isso tá ligado ao conteúdo de transformações lineares na matemática, onde a gente precisa checar duas coisas principais: aditividade e homogeneidade. Pra isso, vamos usar algumas propriedades básicas das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a aditividade. Isso significa que se a gente tiver duas funções $ f $ e $ g $, a transformação $ L $ deve satisfazer $ L(f + g) = L(f) + L(g) $. Vamos calcular:
f
Viu só? A igualdade bate certinho, então a aditividade tá ok.

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer escalar $ \alpha $ e função $ f $, a transformação deve cumprir $ L(\alpha f) = \alpha L(f) $. Vamos lá:
alpha
Mais uma vez, a igualdade se mantém, então a homogeneidade também tá garantida.

Resposta

Como a função $ L $ satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que $ L $ é uma transformação linear.

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