Determine quais das seguintes funções é uma transformação linear (Justifique!):
o espaço de todas as funções de
em
e
definida como
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ L $, definida por $ L(f(x)) = f(x+1) - f(x) $, é uma transformação linear. Isso tá ligado ao conteúdo de transformações lineares na matemática, onde a gente precisa checar duas coisas principais: aditividade e homogeneidade. Pra isso, vamos usar algumas propriedades básicas das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a aditividade. Isso significa que se a gente tiver duas funções $ f $ e $ g $, a transformação $ L $ deve satisfazer $ L(f + g) = L(f) + L(g) $. Vamos calcular:
Viu só? A igualdade bate certinho, então a aditividade tá ok.
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer escalar $ \alpha $ e função $ f $, a transformação deve cumprir $ L(\alpha f) = \alpha L(f) $. Vamos lá:
Mais uma vez, a igualdade se mantém, então a homogeneidade também tá garantida.
Resposta
Como a função $ L $ satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que $ L $ é uma transformação linear.