Considere a transformação linear
definida por
É a transformação
invertível?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ definida por $ T(x, y, z) = (x - y, z - y) $. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação $ T $ é invertível. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de transformações lineares e o que significa ser invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que respeita duas propriedades importantes: aditividade e homogeneidade. Ou seja, para quaisquer vetores $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $ e qualquer escalar $ c $, temos:
No nosso caso, a transformação $ T $ está mapeando um espaço de 3 dimensões $ \mathbb{R}^{3} $ para um espaço de 2 dimensões $ \mathbb{R}^{2} $.
Passo 3
Para determinar se $ T $ é invertível, precisamos verificar se ela é bijetora, ou seja, se é injetora e sobrejetora. Mas como estamos lidando com espaços de dimensões diferentes (3 para 2), já podemos intuir que pode ter problemas na invertibilidade. Vamos aprofundar isso.
Passo 4
Vamos analisar a matriz associada à transformação $ T $. A matriz de $ T $ é:
Para que uma transformação linear seja invertível, a matriz associada precisa ser quadrada e ter determinante diferente de zero. Porém, a matriz $ A $ aqui não é quadrada (é 2x3), o que já sugere que $ T $ não pode ser invertida.
Passo 5
Além disso, podemos verificar o núcleo de $ T $, que é o conjunto de vetores $ (x, y, z) $ que satisfazem $ T(x, y, z) = (0, 0) $. Resolvendo:
Então, o núcleo é formado por todos os vetores da forma $ (y, y, y) $, o que significa que o núcleo não contém apenas o vetor zero. Portanto, $ T $ não é injetora.
Passo 6
Como $ T $ não é injetora e a matriz associada não é quadrada, concluímos que $ T $ não é invertível. Isso acontece porque não existe uma transformação linear que “desfaça” $ T $ de maneira única.
Resposta
Não, a transformação $ T $ não é invertível.