Considere a transformação linear
definida por
Determine a dimensão do núcleo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ definida por $ T(x, y, z) = (x - y, z - y) $. O que a gente precisa descobrir é a dimensão do núcleo dessa transformação. Isso significa que vamos encontrar todos os vetores $ (x, y, z) $ que, quando aplicamos $ T $, dão o vetor zero em $ \mathbb{R}^{2} $. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e solução de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo (ou kernel) de uma transformação linear. O núcleo de $ T $, denotado por $ Ker(T) $, é o conjunto de todos os vetores $ (x, y, z) $ em $ \mathbb{R}^{3} $ que satisfazem $ T(x, y, z) = (0, 0) $. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos traduzir isso em um sistema de equações. A transformação nos dá duas equações:
Isso significa que para um vetor estar no núcleo de $ T $, ele precisa satisfazer ambas as equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. A primeira equação $ x - y = 0 $ nos diz que $ x = y $. A segunda equação $ z - y = 0 $ nos diz que $ z = y $. Portanto, todas as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $ são iguais. Podemos expressar $ x $, $ y $ e $ z $ em termos de uma única variável, digamos $ y $:
Passo 5
Com isso, podemos escrever qualquer vetor no núcleo como:
Isso mostra que todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar do vetor $ (1, 1, 1) $.
Passo 6
Agora, vamos determinar a dimensão do núcleo. A dimensão de um subespaço é o número de vetores em uma base desse subespaço. Aqui, temos que todos os vetores no núcleo são múltiplos de $ (1, 1, 1) $, o que significa que a base do núcleo é formada por apenas um vetor: $ {(1, 1, 1)} $.
Resposta
A dimensão do núcleo de $ T $ é igual a 1.