Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Esse exercício pertence ao tópico de convergência de séries, que faz parte do estudo de séries infinitas em cálculo. Para determinar se a série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série infinita converge examinando a razão entre termos consecutivos da série. A ideia é calcular o limite da razão
quando
tende ao infinito.
Para a nossa série, o termo geral é
. Vamos calcular a razão:
Passo 3
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Passo 4
De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge. No nosso caso, o limite é 0, que é menor que 1. Portanto, a série
converge.
Resposta
A série
converge.