Determine se as seguintes séries convergem ou divergem.
sum(n=1, infinito) 2^n / n!

Passo 1

Vamos analisar a série . Esse exercício pertence ao tópico de convergência de séries, que faz parte do estudo de séries infinitas em cálculo. Para determinar se a série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série infinita converge examinando a razão entre termos consecutivos da série. A ideia é calcular o limite da razão quando n tende ao infinito.
Para a nossa série, o termo geral é . Vamos calcular a razão:

Passo 3

Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge. No nosso caso, o limite é 0, que é menor que 1. Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados