Prove que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto dos números irracionais não é enumerável. Isso significa mostrar que não conseguimos listar todos os números irracionais de forma que cada um tenha uma posição na lista. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são conjuntos enumeráveis, números racionais e irracionais, e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre conjuntos enumeráveis. Um conjunto é enumerável se conseguimos listar todos os seus elementos em uma sequência, como os números naturais: 1, 2, 3, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto dos números naturais é claramente enumerável porque cada número tem sua própria posição na lista.

Passo 3

Agora, vamos ver os números racionais. Esses são números que podem ser escritos como uma fração , onde e são números inteiros e . Curiosamente, mesmo que pareçam infinitos, os racionais são enumeráveis! Isso porque podemos organizá-los em uma lista sistemática, parecendo com um tabuleiro, e assim cada racional vai ter uma posição na lista.

Passo 4

Já os números reais incluem tanto os racionais quanto os irracionais. É famoso que o conjunto dos números reais não é enumerável, e isso foi provado por Cantor usando a prova diagonal. Basicamente, ele mostrou que não importa como você tente listar todos os números reais, sempre dá para encontrar um que não está na lista, provando que não dá para enumerá-los.

Passo 5

Agora, já sabemos que os reais não são enumeráveis e os racionais são. Os números irracionais são justamente os reais que não são racionais. Se a soma de um conjunto enumerável (racionais) com um conjunto não enumerável (reais) dá um conjunto não enumerável (reais), então o restante, que são os irracionais, também não pode ser enumerável. Porque, se fossem, você conseguiria enumerar tudo, o que sabemos que não é possível.

Resposta

Portanto, o conjunto dos números irracionais não é enumerável.

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