Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por
e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa
é proporcional à distância até o plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a massa e o centro de massa de um sólido T, que é delimitado pelo plano
e pelos planos coordenados (x=0, y=0, z=0). Além disso, a densidade é dada por
, ou seja, é proporcional à distância até o plano xy. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para massas e coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região que estamos integrando. O sólido T está limitado pelo plano
e pelos planos coordenados. Para facilitar, vamos resolver essa equação para z:
Isso nos dá os limites superiores para z em termos de x e y.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para x, y e z:
- Para x: quando y = 0 e z = 0,
. Então, x varia de 0 a . - Para y: para um valor fixo de x, y varia de 0 a
. - Para z: para valores fixos de x e y, z varia de 0 a
.
Passo 4
A massa
do sólido é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume T:
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos simplificar:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a y:
Vamos fazer a substituição
, então
. Quando y=0, u=1-2x; quando y=1-2x, u=0.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da massa:
Passo 9
Vamos resolver a integral em relação a x:
Fazendo a substituição
,
Voltando para x:
Avaliando de 0 a
:
Passo 10
Substituindo na expressão da massa:
Resposta
A massa do sólido T é
.