Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por 2x + y + z = 1 e os planos coordenados, sabendo que a densidade de massa cm P(x, y, z) é proporcional à distância até o plano x y . delta(x, y, z) = k z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a massa e o centro de massa de um sólido T, que é delimitado pelo plano e pelos planos coordenados (x=0, y=0, z=0). Além disso, a densidade é dada por , ou seja, é proporcional à distância até o plano xy. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas para massas e coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região que estamos integrando. O sólido T está limitado pelo plano e pelos planos coordenados. Para facilitar, vamos resolver essa equação para z:
Isso nos dá os limites superiores para z em termos de x e y.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para x, y e z:
  • Para x: quando y = 0 e z = 0, . Então, x varia de 0 a .
  • Para y: para um valor fixo de x, y varia de 0 a .
  • Para z: para valores fixos de x e y, z varia de 0 a .

Passo 4

A massa do sólido é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume T:

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos simplificar:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a y:
Vamos fazer a substituição , então . Quando y=0, u=1-2x; quando y=1-2x, u=0.

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da massa:

Passo 9

Vamos resolver a integral em relação a x:
Fazendo a substituição ,
Voltando para x:
Avaliando de 0 a :

Passo 10

Substituindo na expressão da massa:

Resposta

A massa do sólido T é .

Exercícios relacionados