Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a seguinte equação:
E também uma condição inicial:
Vamos usar o método das Equações Diferenciais Separáveis para achar a solução particular. Isso significa que vamos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Como a equação é separável, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados. Vamos começar com a integração em relação a
:
Lembrando que:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição ou a integração por partes. Vamos optar pela substituição. Seja
, então
. Porém, também temos o termo
, então precisamos ajustar. Vamos reescrever a integral:
Usando integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Integrando novamente:
Passo 6
Agora, juntando as integrais dos dois lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na equação:
Para encontrar
, vamos resolver para
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial
, é:
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Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
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