Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
e^(2 x) y' = 2(x + 2) y^3, y(0) = 1 / raiz(5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a seguinte equação:
E também uma condição inicial:
Vamos usar o método das Equações Diferenciais Separáveis para achar a solução particular. Isso significa que vamos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Como a equação é separável, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado:

Passo 4

Agora, precisamos integrar ambos os lados. Vamos começar com a integração em relação a :
Lembrando que:

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição ou a integração por partes. Vamos optar pela substituição. Seja , então . Porém, também temos o termo , então precisamos ajustar. Vamos reescrever a integral:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:
Integrando novamente:

Passo 6

Agora, juntando as integrais dos dois lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :
Simplificando:
Então:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação:
Para encontrar , vamos resolver para :
Simplificando a expressão:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial , é:

Exercícios relacionados