Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a seguinte equação:
E também uma condição inicial:
Vamos usar o método das Equações Diferenciais Separáveis para achar a solução particular. Isso significa que vamos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Como a equação é separável, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados. Vamos começar com a integração em relação a
:
Lembrando que:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição ou a integração por partes. Vamos optar pela substituição. Seja
, então
. Porém, também temos o termo
, então precisamos ajustar. Vamos reescrever a integral:
Usando integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Integrando novamente:
Passo 6
Agora, juntando as integrais dos dois lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na equação:
Para encontrar
, vamos resolver para
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial
, é: