Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Vamos analisar a equação diferencial dada:
. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre exatidão de equações diferenciais. Precisamos verificar se essa EDO é exata. Se não for, procuraremos um fator integrante para torná-la exata e, por fim, resolveremos a equação para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO exata, que é
. Para isso, reorganizamos a equação dada:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na função potencial
, temos:
A solução geral da EDO é dada por
. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.7) esfera , plano
e pelos cones
e
;
(1.7) esfera
b. Qual deveria ser
para que a soma parcial
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.