Determine a solução geral da equação diferencial 3 y ′′ − 3 y ′ − 6 y = 0. a e − x c o s ( 2 x ) + b e − x s e n ( 2 x ) , a e b reais. A e − x + b x e − x , a e b reais. A e − x + b e 2 x , a e b reais. A e − x + b s e n ( 2 x ) , a e b reais. A c o s ( 2 x ) + b s e n ( 2 x ) , a e b reais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. O assunto aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação característica, que nos ajuda a determinar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Então, a nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação
:
Isso nos dá dois valores de
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Onde
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde