Determine a solução geral da equação diferencial 3 y ′′ − 3 y ′ − 6 y = 0. a e − x c o s ( 2 x ) + b e − x s e n ( 2 x ) , a e b reais. A e − x + b x e − x , a e b reais. A e − x + b e 2 x , a e b reais. A e − x + b s e n ( 2 x ) , a e b reais. A c o s ( 2 x ) + b s e n ( 2 x ) , a e b reais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: 3y'' - 3y' - 6y = 0. O assunto aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a equação característica, que nos ajuda a determinar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1. Então, a nossa equação fica:
3r^2 - 3r - 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação r^2 - r - 2 = 0:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Isso nos dá dois valores de r:
r1 = 2
r2 = -1

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas ( r1 = 2 e r2 = -1), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
y(x) = A e^2x + B e^-x
Onde A e B são constantes reais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = A e^-x + B e^2x
onde A e B são números reais.

Exercícios relacionados