Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de segunda ordem
. Vamos resolver essa equação usando o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar a solução geral que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica. Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
, a equação característica é dada por
. Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Percebemos que o discriminante
é negativo, o que indica que temos raízes complexas. Podemos escrever
, onde
é a unidade imaginária. Assim, as raízes ficam:
Podemos expressar essas raízes na forma
, onde
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: