Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
2y'' - y' + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de segunda ordem . Vamos resolver essa equação usando o método das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar a solução geral que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica. Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma , a equação característica é dada por . Aqui, , e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Percebemos que o discriminante é negativo, o que indica que temos raízes complexas. Podemos escrever , onde é a unidade imaginária. Assim, as raízes ficam:
Podemos expressar essas raízes na forma , onde e .

Passo 5

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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