Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados e encontrar a solução geral. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar primeiro achar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Podemos dividir tudo por
(que nunca é zero), ficando:
Essa é a equação característica.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é uma constante (
), vamos supor que a solução particular também é uma constante, ou seja,
, onde
é uma constante que precisamos achar.
Passo 7
Vamos derivar
:
Substituindo na equação completa:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.