Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 8y' + 7y = 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados e encontrar a solução geral. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar primeiro achar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Podemos dividir tudo por (que nunca é zero), ficando:
Essa é a equação característica.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é uma constante ( ), vamos supor que a solução particular também é uma constante, ou seja, , onde é uma constante que precisamos achar.

Passo 7

Vamos derivar :
Substituindo na equação completa:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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